Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=611.
Ответ:
Решение
Пусть окружность касается луча AB в точке E. Тогда AE — касательная, а AC — секущая. По теореме о касательной и секущей AE2=AM⋅AN=36⋅44=1584, значит AE=1211.
По теореме косинусов в треугольнике AEM: EM2=AE2+AM2−2AE⋅AMcos∠BAC. Подставляя данные, получаем EM2=1584+362−2⋅1211⋅36⋅611=1296, то есть EM=36. Кроме того, sin∠BAC=1−6112=65. В треугольнике EMN синус угла ENM равен этому же числу. Тогда по теореме синусов R=2sin∠ENMEM=2⋅6536=5108.
