Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=47.
Ответ:
Решение
Пусть окружность касается луча AB в точке E. Тогда AE — касательная, а AC — секущая. По теореме о касательной и секущей AE2=AM⋅AN=24⋅42=1008, значит AE=127.
По теореме косинусов в треугольнике AEM: EM2=AE2+AM2−2AE⋅AMcos∠BAC. Подставляя данные, получаем EM2=1008+242−2⋅127⋅24⋅47=576, то есть EM=24. Кроме того, sin∠BAC=1−472=43. В треугольнике EMN синус угла ENM равен этому же числу. Тогда по теореме синусов R=2sin∠ENMEM=2⋅4324=16.
