На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M,AD=81,MD=9,H -- точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Ответ:
Решение
Пусть прямая AC пересекает полуокружность ещё раз в точке K, а продолжение высоты AD пересекает окружность в точке Q. Угол BKC опирается на диаметр BC, поэтому BK⊥AC, то есть BK — высота, проходящая через ортоцентр H.
Так как AD⊥BC, точки M и Q симметричны относительно BC, значит DQ=DM=9. Тогда AM=81−9=72,AQ=81+9=90. По теореме о секущих из точки A AK⋅AC=AM⋅AQ=72⋅90=6480. Треугольники AKH и ADC подобны, поэтому AH=ADAK⋅AC=816480=80.
