В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.
Ответ:
Решение
Пусть O — точка пересечения BE и AD. В треугольнике ABD отрезок BO является и высотой, и биссектрисой, поэтому AB=BD. Так как AD — медиана, BD=DC, следовательно, BC=2AB. В равнобедренном треугольнике ABD высота BO к основанию является медианой, поэтому AO=OD=2AD=4. По свойству биссектрисы AE:EC=AB:BC=1:2, значит AE:AC=1:3. Продлим AD за D до F так, чтобы AD=DF. Тогда ABFC — параллелограмм, и BF=AC. Из подобия △AOE∼△FOB получаем BOOE=ACAE=31. Так как BE=8, имеем OE=2,BO=6. Тогда AB=42+62=213,BC=2AB=413. Кроме того, AE=42+22=25,AC=3AE=65.
