Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке P. Из параллельности оснований и равенства углов при биссектрисе получаем ∠CPD=∠CDP, значит PC=CD=29. Тогда PB=PC−BC=29−4=25. Треугольники PBM и DAM подобны, а AM=MB, поэтому AD=PB=25. Проведём CE∥AB,E∈AD. Тогда ABCE — параллелограмм: CE=AB=20,AE=BC=4. Следовательно, ED=AD−AE=21. По данным CE2+ED2=202+212=292=CD2, поэтому CE — высота трапеции. Тогда S=2AD+BC⋅CE=225+4⋅20=290.
