Магнитное поле: Протон, прошедший ускоряющую разность... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов $U~=~191$ В, влетает в область однородного магнитного поля шириной $h=2$ см. Скорость протона перпендикулярна линиям индукции магнитного поля и плоской границе области (см. рисунок).

При каком минимальном значении модуля индукции $B_{\min}$ протон не пролетит эту область насквозь? Силой тяжести, действующей на протон, пренебречь; считать, что до ускорения в электрическом поле скорость протона была равна нулю.

Ответ дайте в Тл.

Решение

1. По условию, до ускорения в электрическом поле скорость протона была равна нулю, при попадании в магнитное поле протон обладает скоростью

\vec v

. Поэтому изначально у протона не было кинетической энергии (

E_\text{к0}=0

), но после прохождения ускоряющего электрического поля кинетическая энергия есть и равна

E_\text{к1}=\frac{mv^2}{2}.

Изменение кинетической энергии протона имеет вид:

\Delta E_{\text{к}}=E_\text{к1}-E_\text{к0}=\frac{mv^2}{2}.

Электрическое поле совершает работу над протоном:

A = eU,

где

e

— элементарный заряд (заряд протона).

По теореме о кинетической энергии:

A = \Delta E_{\text{к}},

eU = \frac{mv^2}{2}.

Отсюда скорость протона при входе в магнитное поле:

v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}.

2. При влете в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции на протон действует сила Лоренца, модуль которой равен:

F_{\text{Л}} = e v B.

При этом протон равномерно движется по дуге окружности, а значит обладает центростремительным ускорением. По второму закону Ньютона:

F_{\text{Л}} = m a_{\text{ц}} \implies e v B = m \frac{v^2}{R}.

Выразим радиус

R

траектории движения протона:

R = \frac{mv}{eB}.

3. Протон влетает в область магнитного поля перпендикулярно её плоской границе. Центр окружности, по которой поворачивает протон, лежит на линии левой границы. Для того чтобы протон не пролетел область шириной

h

насквозь (то есть повернул обратно и вылетел через ту же границу или касался правой границы), радиус его траектории должен быть меньше или равен ширине области

h

R \le h.

Радиус

R = \dfrac{mv}{eB}

обратно пропорционален индукции

B

, поэтому минимальному значению индукции

B_{\text{min}}

соответствует максимальный допустимый радиус

R_{\text{max}} = h

R_{\text{max}} = \frac{mv}{e B_{\text{min}}} = h.

4. Выразим

B_{\text{min}}

B_{\text{min}} = \frac{mv}{eh}

и подставим выражение для скорости

v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}

B_{\text{min}} = \frac{m}{eh} \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \frac{1}{h} \sqrt{\frac{2m U}{e}}

Подставим известные значения:

\begin{gathered}B_{\text{min}}\\=\frac{1}{0{,}02 \text{ м}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot 191 \text{ В}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}} \\\approx 0{,}1 \text{ Тл}.\end{gathered}

Магнитное поле: Протон, прошедший ускоряющую разность... — задача

Похожие задачи