Магнитное поле: В постоянном магнитном поле заряженная частица......

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

В постоянном магнитном поле заряженная частица движется по окружности. Когда индукцию магнитного поля стали медленно увеличивать, обнаружилось, что скорость частицы изменяется так, что кинетическая энергия частицы оказывается пропорциональной частоте её обращения. Найдите радиус орбиты частицы в поле с индукцией

B

, если в поле с индукцией

B_0

он равен

R_0

Решение

1. При движении частицы заряда

q

и массы

m

по окружности радиуса

R

со скоростью

v

в магнитном поле

B

на нее действуют сила Лоренца, равная

F_\text{Л}=Bqv.

Сила Лоренца придает частице центростремительное ускорение

a_\text{ц}=\frac{v^2}{R}.

По второму закону Ньютона:

F_\text{Л}=ma_\text{ц}.

Объединим эти формулы:

Bqv=m\frac{v^2}{R},\qquad mv=BqR.

2. Линейная

v

и угловая скорости

\omega

частицы при движении по окружности связаны выражением

v=\omega R.

Угловая скорость при этом связана с частотой

\nu

\omega=2\pi\nu

. Таким образом, получаем выражение для частоты:

\nu=\frac{v}{2\pi R}.

3. По условию кинетическая энергия частицы пропорциональная частоте:

W_k=\alpha\cdot\nu,

где

\alpha

— коэффициент пропорциональности. Распишем формулы кинетической энергии и подставим полученное раннее выражение для частоты:

\frac{mv^2}{2}=\alpha\cdot\frac{v}{2\pi R},\qquad mv=\frac{\alpha}{\pi R}.

4. В первом пунтке было найдено, что

mv=BqR

. Таким образом,

BqR=\frac{\alpha}{\pi R}, \qquad BR^2=\frac{\alpha}{\pi q}.

Заметим, что

\pi

и заряд

q

остаются неизменными, поэтому

BR^2=\frac{\alpha}{\pi q}=\text{const.}

Известно, что в поле с индукцией

B_0

радиус траектории частицы равен

R_0

. Значит, верно, что

BR^2=B_0R_0^2,

откуда искомое выражение

R=R_0\sqrt{\frac{B_0}{B}}.

Магнитное поле: В постоянном магнитном поле заряженная частица......

Похожие задачи