Магнитное поле: Ион ускоряется в электрическом поле с... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов $U=10$ кВ и попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно к вектору его индукции $\vec{B}$ (см. рисунок).

Радиус траектории движения иона в магнитном поле $R=0,2$ м, модуль индукции магнитного поля равен 0,5 Тл.

Определите отношение массы иона к его электрическому заряду $\dfrac{m}{q}$ . Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебрегите.

Решение

1. При движении иона в ускоряющем электрическом поле работа сил электрического поля идет на изменение его кинетической энергии.

Кинетической энергией иона при вылете из источника пренебрегаем, поэтому начальная кинетическая энергия равна нулю

E_\text{к0}=0

. Кинетическая энергия иона перед попаданием в магнитное поле равна

E_\text{к1}=\frac{mv^2}{2}.

Поэтому изменение кинетической энергии иона:

\Delta E_\text{к}=E_\text{к1}-E_\text{к0}=\frac{mv^2}{2}.

Электрическое поле совершает работу

A = qU

.

По теореме об изменении кинетической энергии:

A = \Delta E_{\text{к}}.

Следовательно:

qU = \frac{mv^2}{2}.

Выразим квадрат скорости иона при вылете из электрического поля:

v^2 = \frac{2qU}{m}

2. После влета в однородное магнитное поле перпендикулярно вектору магнитное индукции

\vec{B}

(

\vec v\perp\vec B

) на ион действует сила Лоренца, модуль которой равен:

F_{\text{Л}} = q v B.

При этом частица начинает двигаться равномерно по дуге окружности с центростремительным ускорением

a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}.

4. Запишем второй закон Ньютона для иона:

F_{\text{Л}} = m a_{\text{ц}},

q v B = m \frac{v^2}{R},

Отсюда получим выражение для скорости частицы:

v = \frac{qBR}{m}

5. Возведём полученное выражение для скорости в квадрат и приравняем его к квадрату скорости из пункта 1:

v^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{m^2},

\frac{q^2 B^2 R^2}{m^2} = \frac{2qU}{m},

сократив множители, получаем

\frac{q}{m} B^2 R^2 = 2U.

Выразим искомое отношение массы иона к его заряду

\dfrac{m}{q}

\frac{m}{q} = \frac{B^2 R^2}{2U}.

и подставим числовые значения с единицами измерения:

\begin{gathered}\frac{m}{q} = \frac{(0{,}5 \text{ Тл})^2 \cdot (0{,}2 \text{ м})^2}{2 \cdot 10^4 \text{ В}} \\= 5 \cdot 10^{-7} \text{ кг/Кл}\end{gathered}

Магнитное поле: Ион ускоряется в электрическом поле с... — задача

Похожие задачи