Магнитное поле: Маленькое положительно заряженное тело массой... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Маленькое положительно заряженное тело массой $m$ , прикреплённое к невесомой нерастяжимой нити длиной $L$ , может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Система находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции $\vec{B}$ которого перпендикулярен плоскости и направлен так, как показано на рисунке. Модуль наименьшей скорости тела в нижней точке, при которой тело совершает полный оборот по окружности, равен $v_\text{н}$ . Заряд тела равен $q$ . Найдите модуль вектора индукции магнитного поля.

Решение

1. На тело действуют три силы:
1) сила тяжести

m\vec{g}

(направлена вертикально вниз); 2) сила натяжения нити

\vec{T}

(направлена вдоль нити к точке подвеса

O

); 3) сила Лоренца

\vec{F}_{\text{Л}}

со стороны магнитного поля (направлена всегда перпендикулярно вектору скорости).

Так как силы

\vec{F}_{\text{Л}}

\vec T

всегда перпендикулярна вектору скорости

\vec{v}

, они не совершают работы. Единственной силой, совершающей работу, является потенциальная сила тяжести, поэтому для системы выполняется закон сохранения механической энергии.

2. Запишем закон сохранения механической энергии при переходе тела из нижней точки в верхнюю точку окружности:

\frac{m v_{\text{н}}^2}{2} = \frac{m v_{\text{в}}^2}{2} + m g (2L),

где

v_{\text{в}}

— скорость тела в верхней точке окружности.

Выразим квадрат скорости в верхней точке

v_{\text{в}}^2

v_{\text{в}}^2 = v_{\text{н}}^2 - 4gL.

3. Определим направление силы Лоренца в верхней точке окружности:
В верхней точке по правилу левой руки для положительного заряда

q > 0

, при векторе

\vec{B}

, направленном «к нам», сила Лоренца

\vec{F}_{\text{Л}}

в верхней точке направлена вертикально вверх. Её модуль равен:

F_{\text{Л}} = q v_{\text{в}}. B

4. Запишем второй закон Ньютона для тела в верхней точке в проекции на ось, направленную вертикально вниз (к центру

O

m g + T_{\text{в}} - F_{\text{Л}} = m a_{\text{ц}},

где

a_{\text{ц}} = \dfrac{v_{\text{в}}^2}{L}

— центростремительное ускорение.

m g + T_{\text{в}} - q v_{\text{в}} B = m \frac{v_{\text{в}}^2}{L}.

5. Чтобы тело совершило полный оборот по окружности, нить должна оставаться натянутой на всем протяжении траектории. Минимальному значению начальной скорости

v_{\text{н}}

соответствует предельное условие, когда в верхней точке сила натяжения нити обращается в ноль:

T_{\text{в}} = 0.

Подставим

T_{\text{в}} = 0

в уравнение второго закона Ньютона:

m g - q v_{\text{в}} B = m \frac{v_{\text{в}}^2}{L}

и выразим из уравнения величину

q v_{\text{в}} B

\begin{gathered}q v_{\text{в}} B = m g - \frac{m v_{\text{в}}^2}{L} \\= \frac{m}{L} (gL - v_{\text{в}}^2).\end{gathered}

7. Подставим ранее полученное выражение для

v_{\text{в}}^2 = v_{\text{н}}^2 - 4gL

\begin{gathered}q v_{\text{в}} B = \frac{m}{L} \left(gL - (v_{\text{н}}^2 - 4gL)\right) \\= \frac{m}{L} (5gL - v_{\text{н}}^2).\end{gathered}

8. Из полученного выражения выразим модуль индукции магнитного поля

B

B = \frac{m (5gL - v_{\text{н}}^2)}{q L v_{\text{в}}}.

Учитывая, что

v_{\text{в}} = \sqrt{v_{\text{н}}^2 - 4gL}

, получаем:

B = \frac{m (5gL - v_{\text{н}}^2)}{q L \sqrt{v_{\text{н}}^2 - 4gL}}.

Магнитное поле: Маленькое положительно заряженное тело массой... —...

Похожие задачи