Оптика: [Рисунок] Груз на пружине совершает... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Груз на пружине совершает гармонические колебания перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой

5

дптр (см. рисунок). С помощью этой линзы получено чёткое изображение груза на экране, находящемся на расстоянии

0{,}5

м от линзы. Амплитуда колебаний изображения равна

0{,}1

м, максимальная скорость изображения равна

1

м/с. Определите максимальное ускорение груза, считая размеры груза пренебрежимо малыми по сравнению с фокусным расстоянием линзы.

Решение

Обозначим

F=1/D

— фокусное расстояние,

f

— расстояние от линзы
до экрана,

d

— расстояние от линзы до груза. Из формулы тонкой линзы

\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f},\qquadd=\frac{Ff}{f-F}.

Модуль поперечного увеличения

\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{f-F}{F}.

Обозначим через

A

A'

амплитуды колебаний груза и его изображения,
через

v'_{\max}

— максимальную скорость изображения, а через

\omega

— угловую частоту колебаний.

Поскольку расстояние

d

не меняется, координаты груза и изображения
связаны линейно:

y'=-\Gamma y

. Поэтому угловая частота

\omega

колебаний одинакова, а амплитуды связаны соотношением

A'=\Gamma A.

Для гармонических колебаний

v'_{\max}=\omega A',\qquada_{\max}=\omega^2A.

Исключая

\omega

A

, получаем максимальное ускорение груза в общем
виде:

a_{\max}=\left(\frac{v'_{\max}}{A'}\right)^2\frac{A'}{\Gamma}=\frac{(v'_{\max})^2}{\Gamma A'}.

При

D=5

дптр

F=0{,}20

м. Тогда

\begin{gathered}d=\frac{0{,}20\cdot0{,}50}{0{,}50-0{,}20}=\frac{1}{3}\ \text{м},\qquad\Gamma\\=\frac{0{,}50}{1/3}=1{,}5.\end{gathered}

Следовательно,

a_{\max}=\frac{1^2}{1{,}5\cdot0{,}1}\approx6{,}7\ \text{м/с}^2.

Похожие задачи