Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=322.
Ответ:
Решение
Пусть окружность касается луча AB в точке E. Тогда AE — касательная, а AC — секущая. По теореме о касательной и секущей AE2=AM⋅AN=9⋅32=288, значит AE=122.
По теореме косинусов в треугольнике AEM: EM2=AE2+AM2−2AE⋅AMcos∠BAC. Подставляя данные, получаем EM2=288+92−2⋅122⋅9⋅322=81, то есть EM=9. Кроме того, sin∠BAC=1−3222=31. В треугольнике EMN синус угла ENM равен этому же числу. Тогда по теореме синусов R=2sin∠ENMEM=2⋅319=227.
