В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.
Ответ:
Решение
Пусть O — точка пересечения BE и AD. В треугольнике ABD отрезок BO является и высотой, и биссектрисой, поэтому AB=BD. Так как AD — медиана, BD=DC, следовательно, BC=2AB. В равнобедренном треугольнике ABD высота BO к основанию является медианой, поэтому AO=OD=2AD=10. По свойству биссектрисы AE:EC=AB:BC=1:2, значит AE:AC=1:3. Продлим AD за D до F так, чтобы AD=DF. Тогда ABFC — параллелограмм, и BF=AC. Из подобия △AOE∼△FOB получаем BOOE=ACAE=31. Так как BE=20, имеем OE=5,BO=15. Тогда AB=102+152=513,BC=2AB=1013. Кроме того, AE=102+52=55,AC=3AE=155.
