Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.9

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти второй дифференциал функции (

x

— независимая переменная,

d^{2}y = y''\,dx^{2}

):

1)

y = (x^{2} + x + 1)e^{-x}

;
2)

y = 2x + \ctg 2x

;
3)

y = x(\cos\ln x + \sin\ln x)

;
4)

y = x^{x}\;(x>0)

Ответ:

1)\ (x^{2} - 3x + 1)e^{-x}dx^{2};

2)\ \dfrac{8\ctg 2x}{\sin^{2} 2x}dx^{2};

3)\ -\dfrac{2\sin\ln x}{x}dx^{2};

4)\ x^{x}\!\left[(\ln x + 1)^{2} + \dfrac{1}{x}\right]dx^{2}

Решение

Дифференцируем:

\begin{aligned}y' &= (2x + 1)e^{-x} + (x^{2} + x + 1)(-e^{-x}) =\\&= e^{-x}(x - x^{2}) = x(1-x)e^{-x},\\[4pt]y'' &= (1-2x)e^{-x} + x(1-x)(-e^{-x}) =\\&= e^{-x}(x^{2} - 3x + 1).\end{aligned}

Следовательно,

d^{2}y = (x^{2} - 3x + 1)e^{-x}\,dx^{2}

Продифференцируем:

\begin{aligned}y' &= 2 + (-\csc^{2} 2x)\cdot 2 = 2 - \dfrac{2}{\sin^{2} 2x},\\[4pt]y'' &= -2\cdot\dfrac{d}{dx}\bigl(\sin^{-2}2x\bigr)= -2\cdot(-2)\sin^{-3}2x\cdot\cos 2x\cdot 2= \\&= \dfrac{8\cos 2x}{\sin^{3} 2x}= 8\ctg 2x\,\csc^{2} 2x.\end{aligned}

Таким образом,

d^{2}y = \dfrac{8\ctg 2x}{\sin^{2} 2x}\,dx^{2}

Положим

t = \ln x

. Тогда

\cos\ln x + \sin\ln x = \cos t + \sin t

y' = (\cos t + \sin t) + x\cdot\dfrac{d}{dx}(\cos t + \sin t).

Так как

\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{x}

, то

\dfrac{d}{dx}(\cos t + \sin t) = (-\sin t + \cos t)\dfrac{1}{x}.

Следовательно,

y' = \cos t + \sin t - \sin t + \cos t = 2\cos t = 2\cos\ln x.

y'' = -2\sin\ln x\cdot\dfrac{1}{x} = -\dfrac{2\sin\ln x}{x}.

Отсюда

d^{2}y = -\dfrac{2\sin\ln x}{x}\,dx^{2}

.

Логарифмируем:

\ln y = x\ln x

\dfrac{y'}{y} = \ln x + 1 \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{x}(\ln x + 1).

\displaystyle y''\mathrel{=}

Значит,

d^{2}y = x^{x}\Bigl[(\ln x + 1)^{2} + \dfrac{1}{x}\Bigr]\,dx^{2}