Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.33

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть

P_{n,m}(x) = \dfrac{d^n}{dx^n} (1-x^m)^n

m > 0

. Найти

P_{n,m}(1)

Ответ:

P_{n,m}(1) = (-1)^n m^n n!

Решение

Рассмотрим разложение функции

(1-x^m)^n

в окрестности точки

x=1

. Сделаем замену

t = x-1

, тогда

x = 1+t

1 - x^m = 1 - (1+t)^m.

Разложим

(1+t)^m

по формуле Тейлора:

(1+t)^m = 1 + m t + O(t^2).

Следовательно,

1 - x^m = - m t + O(t^2).

Возводим в степень

n

(1-x^m)^n = \bigl( - m t + O(t^2) \bigr)^n = (-m)^n t^n + O(t^{n+1}).

Таким образом, коэффициент при

t^n

в разложении функции

(1-x^m)^n

по степеням

t = x-1

равен

(-m)^n

.

По определению производной в терминах ряда Тейлора, если

F(x) = \sum_{j=0}^{\infty} c_j (x-1)^j,

то

F^{(n)}(1) = n! \cdot c_n.

Поэтому

P_{n,m}(1) = n! \cdot (-m)^n = (-1)^n m^n n!.