Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.31

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 15.31

Пусть функция φ(x)\varphi(x) дифференцируема и удовлетворяет условию φ′(x)=f(φ(x))\varphi'(x) = f(\varphi(x)), где ff имеет производные всех порядков. Доказать, что φ(x)\varphi(x) также имеет производные всех порядков.

Доказательство

Докажем по индукции, что φ\varphi имеет производные всех порядков.

База индукции

Функция φ\varphi дифференцируема по условию. Тогда φ′=f(φ)\varphi' = f(\varphi). Так как φ\varphi дифференцируема, она непрерывна. Функция ff дифференцируема, а значит, непрерывна. Поэтому φ′\varphi' непрерывна как композиция непрерывных функций.

Индукционное предположение

Пусть φ\varphi имеет производные до порядка kk включительно, и все они непрерывны, то есть φ∈Ck\varphi \in C^k.

Индукционный шаг. Покажем, что φ\varphi имеет непрерывную производную порядка k+1k+1.

Имеем φ′=f∘φ\varphi' = f \circ \varphi. По предположению индукции φ∈Ck\varphi \in C^k, а ff имеет производные всех порядков, поэтому f∈C∞f \in C^\infty. Тогда композиция f∘φf \circ \varphi принадлежит CkC^k. Это следует из правила дифференцирования сложной функции: производные f∘φf \circ \varphi выражаются через производные ff и φ\varphi до соответствующего порядка и непрерывны в силу непрерывности последних.
Следовательно, (φ′)(k)(\varphi')^{(k)} существует и непрерывна, то есть φ(k+1)\varphi^{(k+1)} существует и непрерывна.

По индукции φ\varphi имеет производные всех порядков.

Что и требовалось доказать

Кудрявцев № 15.31 — решение | Высшая математика — Профиматика