Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.30

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 15.30

Пусть f(x)∈Cn−1[0;+∞)f(x) \in C^{n-1}[0; +\infty). Доказать, что существуют числа aka_k (1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n) такие, что функцияφ(x)={∑k=1nakf(−kx),x<0,f(x),x⩾0,\varphi(x) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k f(-kx), & x < 0,\\[2mm]
f(x), & x \geqslant 0,
\end{cases}непрерывно дифференцируема на всей оси.

Доказательство

Поскольку f∈Cn−1[0;+∞)f \in C^{n-1}[0;+\infty), для любого j=0,1,…,n−1j = 0,1,\ldots,n-1 существуют и непрерывны производные f(j)(x)f^{(j)}(x) в точке x=0x = 0. Для непрерывной дифференцируемости φ\varphi класса Cn−1C^{n-1} на всей оси необходимо, чтобы односторонние производные φ(j)(0−)\varphi^{(j)}(0-) и φ(j)(0+)\varphi^{(j)}(0+) совпадали для всех j=0,1,…,n−1j = 0,1,\ldots,n-1.

Справа при x⩾0x \geqslant 0 имеем φ(x)=f(x)\varphi(x) = f(x), поэтомуφ(j)(0+)=f(j)(0).\varphi^{(j)}(0+) = f^{(j)}(0).Слева при x<0x < 0:φ(x)=∑k=1nakf(−kx).\varphi(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k f(-kx).Дифференцируя jj раз по правилу дифференцирования сложной функции, получаемφ(j)(x)=∑k=1nak(−k)jf(j)(−kx).\varphi^{(j)}(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k (-k)^j f^{(j)}(-kx).При x→0−x \to 0- это даётφ(j)(0−)=∑k=1nak(−k)jf(j)(0).\varphi^{(j)}(0-) = \sum_{k=1}^{n} a_k (-k)^j f^{(j)}(0).Условие совпадения производных слева и справа принимает вид∑k=1nak(−k)j=1,j=0,1,…,n−1.\sum_{k=1}^{n} a_k (-k)^j = 1, \qquad j = 0,1,\ldots,n-1.Получили систему из nn линейных уравнений относительно nn неизвестных a1,…,ana_1,\ldots,a_n. Матрица этой системы имеет вид(11⋯1(−1)(−2)⋯(−n)(−1)2(−2)2⋯(−n)2⋮⋮⋱⋮(−1)n−1(−2)n−1⋯(−n)n−1).\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
(-1) & (-2) & \cdots & (-n)\\
(-1)^2 & (-2)^2 & \cdots & (-n)^2\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
(-1)^{n-1} & (-2)^{n-1} & \cdots & (-n)^{n-1}
\end{pmatrix}.Это транспонированная матрица Вандермонда для попарно различных чисел −1,−2,…,−n-1,-2,\ldots,-n. Следовательно, её определитель отличен от нуля, и система имеет единственное решение (a1,…,an)(a_1,\ldots,a_n).

Проверка

При выбранных таким образом aka_k выполняются равенстваφ(j)(0−)=φ(j)(0+),j=0,1,…,n−1.\varphi^{(j)}(0-) = \varphi^{(j)}(0+), \qquad j = 0,1,\ldots,n-1.Значит, функция φ\varphi непрерывна вместе со своими производными до порядка n−1n-1 включительно, то есть φ∈Cn−1(R)\varphi \in C^{n-1}(\mathbb{R}). В частности, φ\varphi непрерывно дифференцируема.

Что и требовалось доказать

Кудрявцев № 15.30 — решение | Высшая математика — Профиматика