Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков
Кудрявцев — задача 15.29
Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.
Задача 15.29
Определить, какого порядка производными в точке x=0 функция обладает, и вычислить в этой точке все существующие производные:
1) y(x)={1−cosx,ln(1+x)−x,x<0,x≥0;
2) y(x)={2xcosx,sin2x,x<0,x≥0;
3) y(x)={shx−x,x−sinx,x<0,x≥0;
4) y(x)={shx,sinxchx,x<0,x≥0;
5) y(x)={x10,x∈Q,−x10,x∈/Q;
6) y(x)={x100sin(1/x),0,x=0,x=0;
7) y(x)={e−1/x2,0,x=0,x=0.
1) y(x)={1−cosx,ln(1+x)−x,x<0,x≥0;
2) y(x)={2xcosx,sin2x,x<0,x≥0;
3) y(x)={shx−x,x−sinx,x<0,x≥0;
4) y(x)={shx,sinxchx,x<0,x≥0;
5) y(x)={x10,x∈Q,−x10,x∈/Q;
6) y(x)={x100sin(1/x),0,x=0,x=0;
7) y(x)={e−1/x2,0,x=0,x=0.
Ответ:1) y′(0)=0;
2) y′(0)=2, y′′(0)=0;
3) y′(0)=0, y′′(0)=0, y′′′(0)=1, y(4)(0)=0;
4) y′(0)=1, y′′(0)=0; 5) y′(0)=0; 6) y(n)(0)=0 для всех n≤50, y(51)(0) не существует; 7) y(n)(0)=0 для всех n∈N
2) y′(0)=2, y′′(0)=0;
3) y′(0)=0, y′′(0)=0, y′′′(0)=1, y(4)(0)=0;
4) y′(0)=1, y′′(0)=0; 5) y′(0)=0; 6) y(n)(0)=0 для всех n≤50, y(51)(0) не существует; 7) y(n)(0)=0 для всех n∈N
Решение
Запишем y(x)=x10a(x), где a(x)=1 для рациональных x и a(x)=−1 для иррациональных x, причём ∣a(x)∣=1. Первая производная в нуле:y′(0)=h→0limhh10a(h)=h→0limh9a(h)=0,так как h9→0, а a(h) ограничена. Следовательно, y′(0)=0. Вторая производная в нуле не существует, потому что при x=0 функция a(x) разрывна в каждой точке (в любой проколотой окрестности нуля есть и рациональные, и иррациональные точки). Поэтому y′(x) не определена нигде, кроме, быть может, самой точки 0. Значит, y′′(0) не существует. Итог: y′(0)=0.
По определениюy′(0)=h→0limhh100sin(1/h)=h→0limh99sin(1/h)=0.При x=0:y′(x)=100x99sin(1/x)−x98cos(1/x).После k дифференцирований при x=0 производная y(k)(x) состоит из слагаемых вида xmsin(1/x) и xmcos(1/x). При k≤49 минимальная степень m в слагаемых не меньше 1, поэтомуy(k)(0)=h→0limhy(k−1)(h)=0.Производная y(50)(0) также существует, поскольку y(49)(x) содержит только слагаемые с m≥2, и после деления на h получается степень не ниже 1, что даёт предел 0. Следовательно, y(50)(0)=0. При x=0 в y(50)(x) появляется слагаемое cos(1/x) без множителя x. Поэтому при вычисленииy(51)(0)=h→0limhy(50)(h)возникает член hcos(1/h), который не имеет предела. Значит, y(51)(0) не существует. Итог: y(n)(0)=0 для всех n≤50, y(51)(0) не существует.