Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.28

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.28

Вычислить в заданной точке дифференциал указанного порядка nn:

1) y=(x+5)5, n=3, x=0y = (x+5)^5,\ n=3,\ x=0;
2) y=7x+1(3x−2)2, n=10, x=1y = \dfrac{7x+1}{(3x-2)^2},\ n=10,\ x=1;
3) y=(x2−1+x−1)2, n=16, x=1y = \left(\sqrt{x^2-1} + \sqrt{x-1}\right)^2,\ n=16,\ x=1;
4) y=sin⁡xsin⁡2xsin⁡3x, n=10, x=π6y = \sin x\sin 2x\sin 3x,\ n=10,\ x=\dfrac{\pi}{6};
5) y=(2x2+1)sh⁡2x, n=8, x=0y = (2x^2+1)\sh^2 x,\ n=8,\ x=0;
6) y=arcsin⁡xy = \arcsin x;
а) n=19, x=0n=19,\ x=0;
б) n=20, x=0n=20,\ x=0.
Ответ:1) 1500 dx3;1)\ 1500\,dx^{3};
2) 39⋅194⋅10! dx10;2)\ 3^9\cdot194\cdot10!\,dx^{10};
3) 27!! 2225 dx16;3)\ \dfrac{27!!\,\sqrt{2}}{2^{25}}\,dx^{16};

4) −27⋅10253 dx10; 5) 3712 dx8; 6) а) (17!!)2 dx19;4)\ -2^7\cdot1025\sqrt3\,dx^{10};\ 5)\ 3712\,dx^{8};\ 6)\ \text{а) } (17!!)^2\,dx^{19};
б) 0\text{б) } 0

Решение

Находим производные:y′=5(x+5)4,y′′=20(x+5)3,y′′′=60(x+5)2.\begin{aligned}
y' &= 5(x+5)^4,\\
y'' &= 20(x+5)^3,\\
y''' &= 60(x+5)^2.
\end{aligned}При x=0x=0 получаем y′′′(0)=60⋅25=1500y'''(0) = 60 \cdot 25 = 1500. Следовательно, d3y=1500 dx3d^3y = 1500\,dx^3.
Разложим дробь:7x+1(3x−2)2=73⋅13x−2+173⋅1(3x−2)2.\dfrac{7x+1}{(3x-2)^2} = \dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{3x-2} + \dfrac{17}{3}\cdot\dfrac{1}{(3x-2)^2}.Для (3x−2)−m(3x-2)^{-m} формула nn-й производной:dndxn(3x−2)−m=3n⋅(−m)(−m−1)⋯(−m−n+1)(3x−2)m+n.\dfrac{d^n}{dx^n}(3x-2)^{-m}
= 3^n \cdot \dfrac{(-m)(-m-1)\cdots(-m-n+1)}{(3x-2)^{m+n}}.Тогдаd10dx10(3x−2)−1=310⋅10!(3x−2)11,d10dx10(3x−2)−2=310⋅11!(3x−2)12.\begin{aligned}
\dfrac{d^{10}}{dx^{10}}(3x-2)^{-1} &= 3^{10}\cdot\dfrac{10!}{(3x-2)^{11}},\\[2mm]
\dfrac{d^{10}}{dx^{10}}(3x-2)^{-2} &= 3^{10}\cdot\dfrac{11!}{(3x-2)^{12}}.
\end{aligned}Подставляем:y(10)=73⋅310⋅10!(3x−2)11+173⋅310⋅11!(3x−2)12.y^{(10)} = \dfrac{7}{3}\cdot 3^{10}\cdot\dfrac{10!}{(3x-2)^{11}}
+ \dfrac{17}{3}\cdot 3^{10}\cdot\dfrac{11!}{(3x-2)^{12}}.При x=1x=1 имеем 3x−2=13x-2=1, поэтомуy(10)(1)=73⋅310⋅10!+173⋅310⋅11!==31010!(73+173⋅11)==31010!⋅1943=39⋅194⋅10!.\begin{aligned}
y^{(10)}(1) &= \dfrac{7}{3}\cdot 3^{10}\cdot 10! + \dfrac{17}{3}\cdot 3^{10}\cdot 11! = \\
&= 3^{10}10!\Bigl(\dfrac{7}{3} + \dfrac{17}{3}\cdot 11\Bigr) = \\
&= 3^{10}10!\cdot\dfrac{194}{3} = 3^9\cdot194\cdot10!.
\end{aligned}Дифференциал: d10y=39⋅194⋅10! dx10d^{10}y = 3^9\cdot194\cdot10!\,dx^{10}.
Сделаем замену t=x−1t = x-1. Тогда t≥0t \ge 0, x=t+1x = t+1, x2−1=t(t+2)x^2-1 = t(t+2). Функция принимает видy=(t(t+2)+t)2==t(t+2)+2tt+2+t==t2+3t+2tt+2.\begin{aligned}
y &= \left(\sqrt{t(t+2)} + \sqrt{t}\right)^2 = \\
&= t(t+2) + 2t\sqrt{t+2} + t = \\
&= t^2 + 3t + 2t\sqrt{t+2}.
\end{aligned}Разложениеt+2=2(1+t2)1/2=2∑k=0∞(1/2k)tk2k.\sqrt{t+2} = \sqrt{2}\Bigl(1+\dfrac{t}{2}\Bigr)^{1/2}
= \sqrt{2}\sum_{k=0}^{\infty}\binom{1/2}{k}\dfrac{t^k}{2^k}.Тогда2tt+2=22 t∑k=0∞(1/2k)tk2k=∑k=0∞2 (1/2k)21−ktk+1.2t\sqrt{t+2}
= 2\sqrt{2}\,t\sum_{k=0}^{\infty}\binom{1/2}{k}\dfrac{t^k}{2^k}
= \sum_{k=0}^{\infty} \sqrt{2}\,\binom{1/2}{k}2^{1-k}t^{k+1}.При k=15k=15 получаем степень t16t^{16}. Коэффициент при t16t^{16}:a16=2⋅(1/215)⋅2−14.a_{16} = \sqrt{2}\cdot\binom{1/2}{15}\cdot 2^{-14}.Для биномиального коэффициента:(1/215)=(1/2)(−1/2)(−3/2)⋯(−27/2)15!=27!!215⋅15!.\binom{1/2}{15}
= \dfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\cdots(-27/2)}{15!}
= \dfrac{27!!}{2^{15}\cdot15!}.Следовательно,a16=2⋅27!!215⋅15!⋅2−14==2 27!!229⋅15!.\begin{aligned}
a_{16} &= \sqrt{2}\cdot\dfrac{27!!}{2^{15}\cdot15!}\cdot2^{-14} = \\
&= \dfrac{\sqrt{2}\,27!!}{2^{29}\cdot15!}.
\end{aligned}Тогдаy(16)(0)=16!⋅a16=16!⋅2 27!!229⋅15!==16 2 27!!229=2 27!!225.\begin{aligned}
y^{(16)}(0) &= 16!\cdot a_{16}
= 16!\cdot\dfrac{\sqrt{2}\,27!!}{2^{29}\cdot15!} = \\
&= \dfrac{16\,\sqrt{2}\,27!!}{2^{29}} = \dfrac{\sqrt{2}\,27!!}{2^{25}}.
\end{aligned}Дифференциал: d16y=27!! 2225 dx16d^{16}y = \dfrac{27!!\,\sqrt{2}}{2^{25}}\,dx^{16}.
Преобразуем произведение:sin⁡2xsin⁡3x=12(cos⁡x−cos⁡5x),\sin 2x\sin 3x = \dfrac12(\cos x - \cos 5x),y=sin⁡x⋅12(cos⁡x−cos⁡5x)=12sin⁡xcos⁡x−12sin⁡xcos⁡5x.y = \sin x\cdot\dfrac12(\cos x - \cos 5x)
= \dfrac12\sin x\cos x - \dfrac12\sin x\cos 5x.Далееsin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x,sin⁡xcos⁡5x=12(sin⁡6x−sin⁡4x).\sin x\cos x = \dfrac12\sin 2x,\qquad \sin x\cos 5x = \dfrac12(\sin 6x - \sin 4x).Следовательно,y=14sin⁡2x+14sin⁡4x−14sin⁡6x.y = \dfrac14\sin 2x + \dfrac14\sin 4x - \dfrac14\sin 6x.Десятая производная синуса:(sin⁡ax)(10)=a10sin⁡ ⁣(ax+10⋅π2)=−a10sin⁡ax.(\sin ax)^{(10)} = a^{10}\sin\!\Bigl(ax + 10\cdot\dfrac{\pi}{2}\Bigr)
= -a^{10}\sin ax.Получаемy(10)=14(−210sin⁡2x−410sin⁡4x+610sin⁡6x).y^{(10)} = \dfrac14\bigl(-2^{10}\sin 2x - 4^{10}\sin 4x + 6^{10}\sin 6x\bigr).При x=π6x = \dfrac{\pi}{6}:sin⁡2x=32,sin⁡4x=32,sin⁡6x=0.\sin 2x = \dfrac{\sqrt3}{2},\quad \sin 4x = \dfrac{\sqrt3}{2},\quad \sin 6x = 0.Поэтомуy(10)(π6)=14(−210⋅32−410⋅32)==−38(210+410)=−27⋅10253.\begin{aligned}
y^{(10)}\Bigl(\dfrac{\pi}{6}\Bigr)
&= \dfrac14\Bigl(-2^{10}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} - 4^{10}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) = \\
&= -\dfrac{\sqrt3}{8}(2^{10}+4^{10}) = -2^7\cdot1025\sqrt3.
\end{aligned}Дифференциал: d10y=−27⋅10253 dx10d^{10}y = -2^7\cdot1025\sqrt3\,dx^{10}.
Используемsh⁡2x=12(ch⁡2x−1),\sh^2 x = \dfrac12(\ch 2x - 1),и разложение ch⁡2x\ch 2x:ch⁡2x=∑k=0∞22kx2k(2k)!.\ch 2x = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2^{2k}x^{2k}}{(2k)!}.Тогдаsh⁡2x=x2+13x4+245x6+1315x8+⋯\sh^2 x = x^2 + \dfrac13x^4 + \dfrac{2}{45}x^6 + \dfrac{1}{315}x^8 + \cdotsУмножаем на 2x2+12x^2+1:y=(2x2+1)(x2+13x4+245x6+1315x8+⋯ ).y = (2x^2+1)\Bigl(x^2+\dfrac13x^4+\dfrac{2}{45}x^6+\dfrac{1}{315}x^8+\cdots\Bigr).Коэффициент при x8x^8:a8=1⋅1315+2⋅245=1315+445=29315.a_8 = 1\cdot\dfrac{1}{315} + 2\cdot\dfrac{2}{45}
= \dfrac{1}{315} + \dfrac{4}{45}
= \dfrac{29}{315}.Следовательно,y(8)(0)=8!⋅a8=40320⋅29315=128⋅29=3712.y^{(8)}(0) = 8!\cdot a_8 = 40320\cdot\dfrac{29}{315} = 128\cdot29 = 3712.Дифференциал: d8y=3712 dx8d^8y = 3712\,dx^8.

а) Разложение в ряд Маклорена:arcsin⁡x=∑m=0∞(2m)!4m(m!)2(2m+1)x2m+1.\arcsin x = \sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(2m)!}{4^m(m!)^2(2m+1)}x^{2m+1}.Для n=19n=19 имеем 2m+1=19⇒m=92m+1=19 \Rightarrow m=9. Коэффициент при x19x^{19}:a19=18!49(9!)2⋅19.a_{19} = \dfrac{18!}{4^9(9!)^2\cdot19}.Тогдаy(19)(0)=19!⋅a19=19!⋅18!49(9!)2⋅19==(18!)249(9!)2=(17!!)2.\begin{aligned}
y^{(19)}(0) &= 19!\cdot a_{19}
= \dfrac{19!\cdot18!}{4^9(9!)^2\cdot19} = \\
&= \dfrac{(18!)^2}{4^9(9!)^2} = (17!!)^2.
\end{aligned}Дифференциал: d19y=(17!!)2 dx19d^{19}y = (17!!)^2\,dx^{19}.

Пункт б)

Функция arcsin⁡x\arcsin x нечётная, поэтому все производные чётного порядка в нуле равны нулю. В частности, d20y=0d^{20}y = 0.
Кудрявцев № 15.28 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика