Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.27

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.27

Вычислить в заданной точке производную указанного порядка nn:

1) y=(2x−7)2(3x+7)3y = (2x-7)^{2}(3x+7)^{3};
а) n=5n=5;
б) n=6n=6;
2) y=xy = \sqrt{x}, n=10n=10, x=1x=1;
3) y=x21−xy = \dfrac{x^{2}}{1-x}, n=8n=8, x=0x=0;
4) y=x+1x2+x−2y = \dfrac{x+1}{x^{2}+x-2}, n=13n=13, x=−12x=-\dfrac12;
5) y=x2+3x3y = \sqrt{x^{2}+3x^{3}}, n=5n=5, x=1x=1;
6) y=1−x22−3x3y = \dfrac{1-x^{2}}{\sqrt[3]{2-3x}}, n=6n=6, x=−1x=-1;
7) y=x2ln⁡xy = x^{2}\ln x, n=100n=100, x=1x=1;
8) y=(x2−2x)cos⁡3xy = (x^{2}-2x)\cos 3x, n=101n=101, x=1x=1;
9) y=xsin⁡xcos⁡2xy = x\sin x \cos 2x, n=100n=100, x=π2x=\dfrac{\pi}{2};
10) y=(x−sin⁡x)2y = (x - \sin x)^{2}, n=16n=16, x=π4x=\dfrac{\pi}{4};
11) y=arctg⁡2xy = \operatorname{arctg}^{2} x;
а) n=10n=10, x=0x=0;
б) n=11n=11, x=0x=0.
Ответ:1) а) 12960;1)\ \text{а) } 12960;
б) 0;\text{б) } 0;
2) −344594251024;2)\ -\dfrac{34459425}{1024};
3) 40320;3)\ 40320;
4) −13!(23)14;4)\ -13! \Bigl(\dfrac23\Bigr)^{14};
5) −2308516384;5)\ -\dfrac{23085}{16384};
6) 336513/3;6)\ \dfrac{336}{5^{13/3}};
7) −2⋅97!;7)\ -2 \cdot 97!;
8) 10109⋅399sin⁡3;8)\ 10109 \cdot 3^{99} \sin 3;
9) −π4(3100+1);9)\ -\dfrac{\pi}{4} (3^{100}+1);
10) 2(64−π)4;10)\ \dfrac{\sqrt2 (64 - \pi)}{4};
11) а) 1 297 152;11)\ \text{а) } 1\,297\,152;
б) 0\text{б) } 0

Решение

Функция — многочлен степени 5.

Пункт а)

n=5n=5: пятая производная равна 5!5!, умноженному на коэффициент при x5x^{5}. Коэффициент равен (2)2(3)3=108(2)^{2}(3)^{3} = 108. Тогда y(5)=108⋅5!=12960y^{(5)} = 108 \cdot 5! = 12960.

Пункт б)

n=6n=6: шестая производная многочлена пятой степени равна нулю.

Для y=x1/2y = x^{1/2} производная порядка mm равнаy(m)=12(12−1)(12−2)⋯(12−m+1)x1/2−m.y^{(m)} = \dfrac12 \Bigl(\dfrac12-1\Bigr) \Bigl(\dfrac12-2\Bigr) \cdots \Bigl(\dfrac12-m+1\Bigr) x^{1/2-m}.При m=10m=10:y(10)=12⋅(−12)⋅(−32)⋅(−52)⋅(−72)⋅(−92)⋅(−112)⋅(−132)⋅(−152)⋅(−172)⋅x−19/2.\begin{aligned}
y^{(10)} &= \dfrac12 \cdot \Bigl(-\dfrac12\Bigr) \cdot \Bigl(-\dfrac32\Bigr) \cdot \Bigl(-\dfrac52\Bigr) \cdot \Bigl(-\dfrac72\Bigr) \\
&\quad \cdot \Bigl(-\dfrac92\Bigr) \cdot \Bigl(-\dfrac{11}{2}\Bigr) \cdot \Bigl(-\dfrac{13}{2}\Bigr) \cdot \Bigl(-\dfrac{15}{2}\Bigr) \cdot \Bigl(-\dfrac{17}{2}\Bigr) \cdot x^{-19/2}.
\end{aligned}Число отрицательных множителей: девять, поэтому знак минус. Абсолютная величина коэффициента:1⋅1⋅3⋅5⋅7⋅9⋅11⋅13⋅15⋅17210=17!!1024.\dfrac{1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17}{2^{10}} = \dfrac{17!!}{1024}.При x=1x=1: y(10)(1)=−17!!1024=−344594251024y^{(10)}(1) = -\dfrac{17!!}{1024} = -\dfrac{34459425}{1024}.

Разложение 11−x=1+x+x2+⋯\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^{2} + \cdots, поэтому y=x2+x3+x4+⋯y = x^{2} + x^{3} + x^{4} + \cdots. Коэффициент при x8x^{8} равен 1. Тогда восьмая производная в нуле равна 8!⋅1=403208! \cdot 1 = 40320.
Разложим знаменатель: x2+x−2=(x−1)(x+2)x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2). Представимx+1(x−1)(x+2)=23(x−1)+13(x+2).\dfrac{x+1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{2}{3(x-1)} + \dfrac{1}{3(x+2)}.Производная порядка mm от (x−a)−1(x-a)^{-1} равна (−1)mm!(x−a)−m−1(-1)^{m} m! (x-a)^{-m-1}. Тогдаy(13)=23⋅(−1)1313!(x−1)−14+13⋅(−1)1313!(x+2)−14.y^{(13)} = \dfrac{2}{3} \cdot (-1)^{13} 13! (x-1)^{-14} + \dfrac{1}{3} \cdot (-1)^{13} 13! (x+2)^{-14}.При x=−12x=-\dfrac12 имеем x−1=−32x-1 = -\dfrac32, x+2=32x+2 = \dfrac32. Тогдаy(13)(−12)=−13!(23)14.y^{(13)}\Bigl(-\dfrac12\Bigr) = -13! \Bigl(\dfrac23\Bigr)^{14}.Запишем y=x(1+3x)1/2y = x(1+3x)^{1/2}. По формуле Лейбница с u=xu=x, v=(1+3x)1/2v=(1+3x)^{1/2}:y(5)(1)=v(5)(1)+5v(4)(1).y^{(5)}(1) = v^{(5)}(1) + 5 v^{(4)}(1).Найдём производные v(m)v^{(m)} в точке 11. Для v=(1+3x)1/2v=(1+3x)^{1/2} производная порядка mm имеет видv(m)=3m⋅12(12−1)⋯(12−m+1)(1+3x)1/2−m.v^{(m)} = 3^{m} \cdot \dfrac12 \Bigl(\dfrac12-1\Bigr) \cdots \Bigl(\dfrac12-m+1\Bigr) (1+3x)^{1/2-m}.Для m=4m=4: v(4)(1)=−12152048v^{(4)}(1) = -\dfrac{1215}{2048}. Для m=5m=5: v(5)(1)=2551516384v^{(5)}(1) = \dfrac{25515}{16384}. Тогдаy(5)(1)=2551516384−5⋅12152048=−2308516384.y^{(5)}(1) = \dfrac{25515}{16384} - 5 \cdot \dfrac{1215}{2048} = -\dfrac{23085}{16384}.Представим y=(1−x2)(2−3x)−1/3y = (1-x^{2})(2-3x)^{-1/3}. По формуле Лейбница, учитывая u′′′=0u'''=0, в точке x=−1x=-1 получаем ненулевые слагаемые только при k=0,1,2k=0,1,2. После вычислений:y(6)(−1)=336513/3.y^{(6)}(-1) = \dfrac{336}{5^{13/3}}.Применяем формулу Лейбница с u=x2u=x^{2}, v=ln⁡xv=\ln x. В точке x=1x=1:y(100)(1)=97!⋅(−2).y^{(100)}(1) = 97! \cdot (-2).По формуле Лейбница с u=x2−2xu=x^{2}-2x, v=cos⁡3xv=\cos 3x:y(101)(1)=10109⋅399sin⁡3.y^{(101)}(1) = 10109 \cdot 3^{99} \sin 3.
Преобразуем sin⁡xcos⁡2x=12(sin⁡3x−sin⁡x)\sin x \cos 2x = \dfrac12 (\sin 3x - \sin x). Тогдаy(100)(π2)=−π4(3100+1).y^{(100)}\Bigl(\dfrac{\pi}{2}\Bigr) = -\dfrac{\pi}{4} \bigl( 3^{100} + 1 \bigr).Раскроем квадрат: y=x2−2xsin⁡x+sin⁡2xy = x^{2} - 2x\sin x + \sin^{2}x. Производные 16-го порядка от x2x^{2} и sin⁡2x\sin^{2}x в точке π4\dfrac{\pi}{4} равны нулю. Остаётся вклад от −2xsin⁡x-2x\sin x:y(16)(π4)=2(64−π)4.y^{(16)}\Bigl(\dfrac{\pi}{4}\Bigr) = \dfrac{\sqrt2 (64 - \pi)}{4}.

Проверка

11. а) Используем ряд Маклорена. Коэффициент при x10x^{10} в разложении arctg⁡2x\operatorname{arctg}^{2} x равен 5631575\dfrac{563}{1575}. Тогдаy(10)(0)=10!⋅5631575=1 297 152.y^{(10)}(0) = 10! \cdot \dfrac{563}{1575} = 1\,297\,152.б) Функция arctg⁡2x\operatorname{arctg}^{2} x чётная, поэтому все производные нечётного порядка в нуле равны нулю. Следовательно, y(11)(0)=0y^{(11)}(0) = 0.
Кудрявцев № 15.27 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика