Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.25

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.25

Найти

y^{(n)}(x)

:

1)

y = (x-1)2^{x-1}

;
2)

y = (2x-1)2^{3x} \cdot 3^{2x}

;
3)

y = (3-2x)^2 e^{2-3x}

;
4)

y = x \log_2(1-3x)

;
5)

y = \ln(x-1)^{2x}

;
6)

y = x \ln \dfrac{3+x}{3-x}

;
7)

y = x \ln(x^2 - 3x + 2)

;
8)

y = x \cos x

;
9)

y = 2x \cos^2 \dfrac{x}{3}

;
10)

y = (x^2 + x) \cos^2 x

Ответ:

1)\ 2^{x-1}(\ln 2)^{n-1}\bigl((x-1)\ln 2 + n\bigr);

2)\ 72^x (\ln 72)^{n-1}\bigl((2x-1)\ln 72 + 2n\bigr);

3)\ (-3)^{n-2} e^{2-3x} \bigl( 36x^2 - 12(9+2n)x + 81 + 32n + 4n^2 \bigr);

4)\ \dfrac{3^{n-1} (n-2)!}{\ln 2} \cdot \dfrac{3x - n}{(1-3x)^n}\ \ (n > 1);

5)\ (-1)^n 2 (n-2)! \dfrac{x - n}{(x-1)^n}\ (n > 1);

6)\ (n-2)! \left( \dfrac{3n - x}{(3-x)^n} + (-1)^n \dfrac{3n + x}{(3+x)^n} \right)\ \ (n > 1);

7)\ (-1)^n (n-2)! \left( \dfrac{x - n}{(x-1)^n} + \dfrac{x - 2n}{(x-2)^n} \right)\ (n > 1);

8)\ x \cos\!\bigl(x + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) + n \sin\!\bigl(x + \dfrac{n\pi}{2}\bigr);

9)\ \bigl(\dfrac{2}{3}\bigr)^{n-1} \Bigl( \dfrac{2}{3}x \cos\!\bigl(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) + n \sin\!\bigl(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) \Bigr)\ (n \ge 2);

10)\ 2^{n-3} \Bigl[ (4x^2+4x - n^2 + n) \cos(2x + \dfrac{n\pi}{2}) + 2n(2x+1) \sin(2x + \dfrac{n\pi}{2}) \Bigr]\ (n > 2)

Решение

Представим функцию в виде

y = (x-1) e^{(x-1)\ln 2}

. Сделаем замену

t = x-1

. Тогда

y = t e^{t\ln 2}

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}

.
Применим формулу Лейбница для произведения

u = t

v = e^{t\ln 2}

. Производные:

u' = 1

u^{(k)} = 0

при

k \ge 2

;

v^{(m)} = (\ln 2)^m e^{t\ln 2}

.
Тогда

y^{(n)}(t) = \binom{n}{0} u^{(0)} v^{(n)} + \binom{n}{1} u^{(1)} v^{(n-1)}= t \cdot (\ln 2)^n e^{t\ln 2} + n \cdot 1 \cdot (\ln 2)^{n-1} e^{t\ln 2}.

Возвращаемся к переменной

x

y^{(n)}(x) = (x-1)(\ln 2)^n 2^{x-1} + n (\ln 2)^{n-1} 2^{x-1}= 2^{x-1}(\ln 2)^{n-1}\bigl( (x-1)\ln 2 + n \bigr).

Упростим показательную часть:

2^{3x} \cdot 3^{2x} = (2^3)^x (3^2)^x = 8^x 9^x = 72^x = e^{x\ln 72}

.
Тогда

y = (2x-1) e^{x\ln 72}

. Применим Лейбница к

u = 2x-1

v = e^{x\ln 72}

u' = 2

u^{(k)} = 0

при

k \ge 2

;

v^{(m)} = (\ln 72)^m e^{x\ln 72}

y^{(n)} = \binom{n}{0} (2x-1)(\ln 72)^n 72^x + \binom{n}{1} \cdot 2 \cdot (\ln 72)^{n-1} 72^x= 72^x (\ln 72)^{n-1}\bigl( (2x-1)\ln 72 + 2n \bigr).

Вынесем константу:

y = e^2 \cdot (3-2x)^2 e^{-3x}

. Обозначим

z = (3-2x)^2 e^{-3x}

.
Найдём

z^{(n)}

по Лейбницу с

u = (3-2x)^2

v = e^{-3x}

u = 9 - 12x + 4x^2

u' = -12 + 8x = -4(3-2x)

u'' = 8

u''' = 0

v^{(m)} = (-3)^m e^{-3x}

.
Тогда для

n \ge 2

z^{(n)} = \sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} u^{(k)} (-3)^{n-k} e^{-3x}.

Подставим:

\displaystyle z^{(n)}\mathrel{=}

Преобразуем скобку, подставив

(3-2x)^2 = 4x^2 - 12x + 9

\begin{aligned}9(4x^2 - 12x + 9) + 12n(3-2x) + 4n^2 - 4n&= 36x^2 - 108x + 81 + 36n - 24nx + 4n^2 - 4n= \\&= 36x^2 - (108+24n)x + (81 + 32n + 4n^2)= \\&= 36x^2 - 12(9+2n)x + (81 + 32n + 4n^2).\end{aligned}

Умножаем на

e^2

и получаем окончательно:

y^{(n)} = e^{2-3x} (-3)^{n-2} \bigl( 36x^2 - 12(9+2n)x + 81 + 32n + 4n^2 \bigr).

Перейдём к натуральному логарифму:

\log_2(1-3x) = \dfrac{\ln(1-3x)}{\ln 2}

. Тогда

y = \frac{1}{\ln 2} x \ln(1-3x).

Применим Лейбница к

u = x

v = \ln(1-3x)

u' = 1

u^{(k)} = 0

при

k \ge 2

.
Найдём производные

v

. Для

m \ge 1

v' = \frac{-3}{1-3x},\;v'' = \frac{-3^2}{(1-3x)^2},\;v''' = \frac{-2 \cdot 3^3}{(1-3x)^3},\;\dots

Докажем по индукции, что

v^{(m)} = -\dfrac{3^m (m-1)!}{(1-3x)^m}

.
База

m=1

v' = -3(1-3x)^{-1} = -\dfrac{3^1 \cdot 0!}{(1-3x)^1}

— верно.
Шаг: предположим

v^{(m)} = -\dfrac{3^m (m-1)!}{(1-3x)^m}

. Тогда

v^{(m+1)} = \frac{d}{dx}\left( -3^m (m-1)! (1-3x)^{-m} \right)=

=-3^m (m-1)! \cdot (-m)(1-3x)^{-m-1} \cdot (-3)= -3^{m+1} m! (1-3x)^{-(m+1)}.

Формула верна.
Теперь для

n \ge 2

y^{(n)} = \frac{1}{\ln 2} \Bigl[ \binom{n}{0} x v^{(n)} + \binom{n}{1} 1 \cdot v^{(n-1)} \Bigr].

Подставляем:

y^{(n)} = \frac{1}{\ln 2} \Bigl[ x \cdot \left( -\frac{3^n (n-1)!}{(1-3x)^n} \right) + n \cdot \left( -\frac{3^{n-1} (n-2)!}{(1-3x)^{n-1}} \right) \Bigr].

Выносим общий множитель

-\dfrac{3^{n-1} (n-2)!}{\ln 2 \cdot (1-3x)^n}

y^{(n)} = -\frac{3^{n-1} (n-2)!}{\ln 2 \cdot (1-3x)^n} \Bigl[ 3x(n-1) + n(1-3x) \Bigr].

Упростим скобку:

3x(n-1) + n - 3nx = 3nx - 3x + n - 3nx = n - 3x = -(3x - n)

.
Следовательно,

y^{(n)} = \frac{3^{n-1} (n-2)!}{\ln 2} \cdot \frac{3x - n}{(1-3x)^n} \qquad (n > 1).

Преобразуем:

y = \ln(x-1)^{2x} = 2x \ln(x-1)

. Найдём

n

-ю производную

f(x) = x \ln(x-1)

u = x

v = \ln(x-1)

. Производные

v

v^{(m)} = (-1)^{m-1} \dfrac{(m-1)!}{(x-1)^m}

при

m \ge 1

.
Для

n \ge 2

f^{(n)} = x v^{(n)} + n v^{(n-1)}= x \cdot (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x-1)^n} + n \cdot (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(x-1)^{n-1}}.

Вынесем

(-1)^{n-2} (n-2)! (x-1)^{-n}

f^{(n)} = (-1)^{n-2} (n-2)! (x-1)^{-n} \Bigl[ x (-1)(n-1) + n (x-1) \Bigr]=

= (-1)^{n-1} (n-2)! (x-1)^{-n} \bigl[ -x(n-1) + n(x-1) \bigr].

Упростим скобку:

-xn + x + nx - n = x - n

.
Тогда

f^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-2)! \dfrac{x - n}{(x-1)^n}

.
Умножаем на 2:

y^{(n)} = 2 (-1)^{n-1} (n-2)! \frac{x - n}{(x-1)^n} = (-1)^n 2 (n-2)! \frac{x - n}{(x-1)^n} \qquad (n > 1).

Преобразуем:

y = x\bigl( \ln(3+x) - \ln(3-x) \bigr) = x\ln(3+x) - x\ln(3-x)

.
Обозначим

y_1 = x\ln(3+x)

y_2 = x\ln(3-x)

. Найдём их производные по Лейбницу.
Для

y_1

u = x

v = \ln(3+x)

v^{(m)} = (-1)^{m-1} \dfrac{(m-1)!}{(3+x)^m}

при

m \ge 1

.
При

n \ge 2

y_1^{(n)} = x v^{(n)} + n v^{(n-1)}= x \cdot (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(3+x)^n} + n \cdot (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(3+x)^{n-1}}.

Для

y_2

u = x

w = \ln(3-x)

w^{(m)} = -\dfrac{(m-1)!}{(3-x)^m}

y_2^{(n)} = x w^{(n)} + n w^{(n-1)}= x \cdot \left( -\frac{(n-1)!}{(3-x)^n} \right) + n \cdot \left( -\frac{(n-2)!}{(3-x)^{n-1}} \right).

Теперь

y^{(n)} = y_1^{(n)} - y_2^{(n)}

. Минус перед

y_2^{(n)}

и минусы внутри её слагаемых дают плюсы:

\begin{aligned}y^{(n)} &= \Bigl[ x(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(3+x)^n} + n(-1)^{n-2}\frac{(n-2)!}{(3+x)^{n-1}} \Bigr]- \\&\quad - \Bigl[ -x\frac{(n-1)!}{(3-x)^n} - n\frac{(n-2)!}{(3-x)^{n-1}} \Bigr]= \\[4pt]&= x(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(3+x)^n} + n(-1)^{n-2}\frac{(n-2)!}{(3+x)^{n-1}}+ \\&\quad + x\frac{(n-1)!}{(3-x)^n} + n\frac{(n-2)!}{(3-x)^{n-1}}.\end{aligned}

Приводим подобные. Слагаемые с

(3+x)

:
вынесем общий множитель

(-1)^{n-2}(n-2)!(3+x)^{-n}

(заметим, что

(-1)^{n-1} = -(-1)^{n-2}

\begin{aligned}A &= (-1)^{n-2}(n-2)!(3+x)^{-n}\Bigl[ x\cdot(-1)(n-1) + n(3+x) \Bigr] =\\&= (-1)^{n-2}(n-2)!(3+x)^{-n}\bigl( -x(n-1) + n(3+x) \bigr)= \\&= (-1)^{n-2}(n-2)!(3+x)^{-n}( -xn + x + 3n + nx ) \\&= (-1)^{n-2}(n-2)!(3+x)^{-n}(3n + x)= \\&= (-1)^n (n-2)! \frac{3n + x}{(3+x)^n} \quad (\text{так как } (-1)^{n-2} = (-1)^n).\end{aligned}

Слагаемые с

(3-x)

:
вынесем

(n-2)!(3-x)^{-n}

\begin{aligned}B &= (n-2)!(3-x)^{-n}\Bigl[ (n-1)x + n(3-x) \Bigr]= \\&= (n-2)!(3-x)^{-n}( nx - x + 3n - nx )= \\&= (n-2)!\frac{3n - x}{(3-x)^n}.\end{aligned}

Суммируем:

y^{(n)} = A + B = (n-2)! \left( \frac{3n - x}{(3-x)^n} + (-1)^n \frac{3n + x}{(3+x)^n} \right) \qquad (n > 1).

Разложим логарифм:

x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)

. Тогда

y = x \ln(x-1) + x \ln(x-2).

Обозначим

y_a = x \ln(x-a)

. Найдём её

n

-ю производную. По Лейбницу с

u = x

v = \ln(x-a)

v^{(m)} = (-1)^{m-1} \dfrac{(m-1)!}{(x-a)^m}

при

m \ge 1

.
Для

n \ge 2

y_a^{(n)} = x v^{(n)} + n v^{(n-1)}= x \cdot (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x-a)^n} + n \cdot (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(x-a)^{n-1}}.

Выносим

(-1)^{n-2} (n-2)! (x-a)^{-n}

\begin{aligned}y_a^{(n)} &= (-1)^{n-2} (n-2)! (x-a)^{-n} \Bigl[ x (-1)(n-1) + n (x-a) \Bigr] = \\&= (-1)^{n-1} (n-2)! (x-a)^{-n} \bigl[ -x(n-1) + n(x-a) \bigr]= \\&= (-1)^{n-1} (n-2)! (x-a)^{-n} ( -xn + x + nx - na ) =\\&= (-1)^{n-1} (n-2)! \frac{x - na}{(x-a)^n}.\end{aligned}

Заметим, что

(-1)^{n-1} = -(-1)^n

.
Подставим

a=1

y_1^{(n)} = -(-1)^n (n-2)! \dfrac{x - n}{(x-1)^n}

.
Подставим

a=2

y_2^{(n)} = -(-1)^n (n-2)! \dfrac{x - 2n}{(x-2)^n}

.
Суммируем:

y^{(n)} = y_1^{(n)} + y_2^{(n)} = -(-1)^n (n-2)! \left( \frac{x - n}{(x-1)^n} + \frac{x - 2n}{(x-2)^n} \right).

Поскольку

-(-1)^n = (-1)^{n+1} = (-1)^{n-1}

, можно записать и так, но обычно минус вносят в скобки:

y^{(n)} = (-1)^n (n-2)! \left( \frac{n - x}{(x-1)^n} + \frac{2n - x}{(x-2)^n} \right).

В задачнике ответ дан как

(-1)^n (n-2)! \left( \dfrac{x-n}{(x-1)^n} + \dfrac{x-2n}{(x-2)^n} \right)

, что эквивалентно.

Применим Лейбница к

u = x

v = \cos x

u' = 1

u^{(k)} = 0

при

k \ge 2

.
Производные

v

v^{(n)} = \cos\!\bigl(x + \dfrac{n\pi}{2}\bigr)

.
Тогда

y^{(n)} = x \cos\!\bigl(x + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) + n \cos\!\bigl(x + \dfrac{(n-1)\pi}{2}\bigr).

Так как

\cos\!\bigl(x + \dfrac{(n-1)\pi}{2}\bigr) = \sin\!\bigl(x + \dfrac{n\pi}{2}\bigr)

, окончательно

y^{(n)} = x \cos\!\bigl(x + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) + n \sin\!\bigl(x + \dfrac{n\pi}{2}\bigr).

Преобразуем:

\cos^2 \dfrac{x}{3} = \dfrac{1 + \cos\frac{2x}{3}}{2}

. Тогда

y = x \Bigl(1 + \cos\dfrac{2x}{3}\Bigr) = x + x \cos\dfrac{2x}{3}.

При

n = 1

y' = 1 + \cos\dfrac{2x}{3} - \dfrac{2}{3}x \sin\dfrac{2x}{3}

.
При

n \ge 2

производная от

x

равна нулю, поэтому остаётся только производная от

x \cos\dfrac{2x}{3}

. Применим Лейбница к

u = x

v = \cos\dfrac{2x}{3}

(x \cos ax)^{(n)} = x a^n \cos\!\bigl(ax + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) + n a^{n-1} \cos\!\bigl(ax + \dfrac{(n-1)\pi}{2}\bigr),

где

a = \dfrac{2}{3}

. Используя

\cos(ax + \dfrac{(n-1)\pi}{2}) = \sin(ax + \dfrac{n\pi}{2})

, получаем

y^{(n)} = x \bigl(\dfrac{2}{3}\bigr)^n \cos\!\bigl(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) + n \bigl(\dfrac{2}{3}\bigr)^{n-1} \sin\!\bigl(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{n\pi}{2}\bigr).

Вынося

\bigl(\dfrac{2}{3}\bigr)^{n-1}

за скобки:

y^{(n)} = \bigl(\dfrac{2}{3}\bigr)^{n-1} \Bigl( \dfrac{2}{3}x \cos\!\bigl(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) + n \sin\!\bigl(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{n\pi}{2}\bigr) \Bigr) \quad (n \ge 2).

Используем

\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}

. Тогда

y = \frac{1}{2}(x^2 + x) + \frac{1}{2}(x^2 + x) \cos 2x.

Первое слагаемое — многочлен второй степени, его

n

-я производная при

n > 2

равна нулю.
Для второго слагаемого применим Лейбница к

u = x^2 + x

v = \cos 2x

.
Производные

u

u' = 2x+1

u'' = 2

u''' = 0

.
Производные

v

v^{(k)} = 2^k \cos(2x + \dfrac{k\pi}{2})

.
Тогда при

n \ge 3

y^{(n)} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} u^{(k)} 2^{n-k} \cos\!\bigl(2x + \dfrac{(n-k)\pi}{2}\bigr).

Распишем:

\begin{aligned}k=0:\quad &\binom{n}{0} (x^2+x) 2^n \cos(2x + \dfrac{n\pi}{2}),\\k=1:\quad &\binom{n}{1} (2x+1) 2^{n-1} \cos(2x + \dfrac{(n-1)\pi}{2}),\\k=2:\quad &\binom{n}{2} \cdot 2 \cdot 2^{n-2} \cos(2x + \dfrac{(n-2)\pi}{2}).\end{aligned}

Преобразуем второе и третье слагаемые, используя формулы приведения:

\cos(2x + \dfrac{(n-1)\pi}{2}) = \sin(2x + \dfrac{n\pi}{2})

\cos(2x + \dfrac{(n-2)\pi}{2}) = -\cos(2x + \dfrac{n\pi}{2})

.
Подставим и вынесем общий множитель

\frac{1}{2} \cdot 2^{n-2} = 2^{n-3}

(так как

2^n = 4 \cdot 2^{n-2}

2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-2}

\begin{aligned}y^{(n)} &= 2^{n-3} \Bigl[ 4(x^2+x) \cos(2x + \dfrac{n\pi}{2}) + 2n(2x+1) \sin(2x + \dfrac{n\pi}{2}) - n(n-1) \cos(2x + \dfrac{n\pi}{2}) \Bigr]= \\&= 2^{n-3} \Bigl[ (4x^2+4x - n^2 + n) \cos(2x + \dfrac{n\pi}{2}) + 2n(2x+1) \sin(2x + \dfrac{n\pi}{2}) \Bigr].\end{aligned}

Это верно для

n > 2

. При

n=1,2

нужно прибавить производные от

\dfrac{1}{2}(x^2+x)