Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.23

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что функция из уравнения удовлетворяет дифференциальному уравнению:

1)

y = A\ln y + x + B

, доказать

y y'' = (y')^{2} - (y')^{3}

;

2)

(A+Bx)e^{y/x} = x

, доказать

x^{3}y'' = (xy'-y)^{2}

Доказательство

Дифференцируем исходное равенство:

y' = A\dfrac{y'}{y} + 1

. Отсюда

y'\Bigl(1-\dfrac{A}{y}\Bigr) = 1

, и

y' = \dfrac{y}{y-A}

. Дифференцируем как частное:

y'' = \dfrac{y'(y-A) - y\cdot y'}{(y-A)^{2}} = \dfrac{-A y'}{(y-A)^{2}}.

Подставляем

y'

y'' = \dfrac{-A \cdot \dfrac{y}{y-A}}{(y-A)^{2}} = -\dfrac{A y}{(y-A)^{3}}.

Левая часть доказываемого равенства:

y y'' = -\dfrac{A y^{2}}{(y-A)^{3}}.

Правая часть:

(y')^{2} - (y')^{3} = \Bigl(\dfrac{y}{y-A}\Bigr)^{2} - \Bigl(\dfrac{y}{y-A}\Bigr)^{3} = \dfrac{y^{2}(y-A) - y^{3}}{(y-A)^{3}} = -\dfrac{A y^{2}}{(y-A)^{3}}.

Левая и правая части совпадают. Тождество доказано.

Логарифмируем уравнение:

\ln(A+Bx) + \dfrac{y}{x} = \ln x

. Дифференцируем:

\dfrac{B}{A+Bx} + \dfrac{y'x - y}{x^{2}} = \dfrac{1}{x}.

Умножаем на

x^{2}

\dfrac{Bx^{2}}{A+Bx} + y'x - y = x.

Выражаем

y'x

y'x = x + y - \dfrac{Bx^{2}}{A+Bx} = x + y - \Bigl(x - \dfrac{Ax}{A+Bx}\Bigr) = y + \dfrac{Ax}{A+Bx}.

Отсюда

y' = \dfrac{y}{x} + \dfrac{A}{A+Bx}

. Тогда

xy' - y = \dfrac{Ax}{A+Bx} \quad\Rightarrow\quad (xy'-y)^{2} = \dfrac{A^{2}x^{2}}{(A+Bx)^{2}}.

Находим

y''

y'' = \Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)' + \Bigl(\dfrac{A}{A+Bx}\Bigr)' = \dfrac{y'x - y}{x^{2}} - \dfrac{AB}{(A+Bx)^{2}}.

Подставляем

y'x - y = \dfrac{Ax}{A+Bx}

y'' = \dfrac{A}{x(A+Bx)} - \dfrac{AB}{(A+Bx)^{2}} = \dfrac{A(A+Bx) - ABx}{x(A+Bx)^{2}} = \dfrac{A^{2}}{x(A+Bx)^{2}}.

Левая часть доказываемого равенства:

x^{3}y'' = x^{3} \cdot \dfrac{A^{2}}{x(A+Bx)^{2}} = \dfrac{A^{2}x^{2}}{(A+Bx)^{2}}.

Правая часть совпадает с левой. Тождество доказано.

Что и требовалось доказать