Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.22

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.22

Найти d2yd^{2}y в точке для неявно заданной функции:

1) x2+2xy+y2−4x+2y−2=0,  (1;1)x^{2}+2xy+y^{2}-4x+2y-2=0,\;(1;1);
2) 2ln⁡(y−x)+sin⁡xy=0,  (0;1)2\ln(y-x)+\sin xy=0,\;(0;1);
3) x3y+arcsin⁡(y−x)=1,  (1;1)x^{3}y + \arcsin(y-x) = 1,\;(1;1);
4) 3(y−x+1)+arctg⁡(y/x)=0,  (1;0)3(y-x+1) + \operatorname{arctg}(y/x) = 0,\;(1;0).
Ответ:1) −13dx2;1)\ -\dfrac{1}{3}dx^{2};
2) −14dx2;2)\ -\dfrac{1}{4}dx^{2};
3) 0;3)\ 0;
4) 38dx24)\ \dfrac{3}{8}dx^{2}

Решение

Проверим точку: 1+2+1−4+2−2=01+2+1-4+2-2=0. Дифференцируем:2x+2y+2xy′+2yy′−4+2y′=0  ⇒  y′(2x+2y+2)+(2x+2y−4)=0.2x + 2y + 2xy' + 2yy' - 4 + 2y' = 0 \;\Rightarrow\; y'(2x+2y+2) + (2x+2y-4) = 0.При (1,1)(1,1): y′(6)+0=0⇒y′=0y'(6) + 0 = 0 \Rightarrow y' = 0. Дифференцируем ещё раз:2+2y′+(2y′+2xy′′)+(2y′2+2yy′′)+0+2y′′=0.2 + 2y' + (2y' + 2xy'') + (2y'^{2} + 2yy'') + 0 + 2y'' = 0.Группируем y′′y'': y′′(2x+2y+2)+(2+4y′+2(y′)2)=0y''(2x+2y+2) + (2 + 4y' + 2(y')^{2}) = 0. При (1,1)(1,1) с y′=0y'=0:6y′′+2=0⇒y′′=−13.6y'' + 2 = 0 \Rightarrow y'' = -\dfrac{1}{3}.Следовательно, d2y=−13dx2d^{2}y = -\dfrac{1}{3}dx^{2}.

Проверка: 2ln⁡1+sin⁡0=02\ln 1 + \sin 0 = 0. Дифференцируем:2y′−1y−x+cos⁡xy⋅(y+xy′)=0.2\dfrac{y'-1}{y-x} + \cos xy \cdot (y + xy') = 0.При (0,1)(0,1): 2(y′−1)+1=0⇒y′=122(y'-1) + 1 = 0 \Rightarrow y' = \dfrac12. Дифференцируем ещё раз. Первое слагаемое A=2y′−1y−xA = 2\dfrac{y'-1}{y-x}:A′=2y′′(y−x)−(y′−1)2(y−x)2.A' = 2\dfrac{y''(y-x) - (y'-1)^{2}}{(y-x)^{2}}.Второе слагаемое B=cos⁡xy⋅(y+xy′)B = \cos xy \cdot (y + xy'):B′=−sin⁡xy⋅(y+xy′)2+cos⁡xy⋅(2y′+xy′′).B' = -\sin xy \cdot (y+xy')^{2} + \cos xy \cdot (2y' + xy'').В точке (0,1)(0,1): y−x=1,  y′=1/2y-x=1,\; y'=1/2.A′=2(y′′−(−1/2)2)=2y′′−12,B′=0+1⋅(2⋅12+0)=1.A' = 2\bigl(y'' - ( -1/2)^{2}\bigr) = 2y'' - \dfrac12,\qquad
B' = 0 + 1\cdot\Bigl(2\cdot\dfrac12 + 0\Bigr) = 1.Сумма A′+B′=0A'+B' = 0 даёт 2y′′−12+1=0⇒y′′=−142y'' - \dfrac12 + 1 = 0 \Rightarrow y'' = -\dfrac14. Тогда d2y=−14dx2d^{2}y = -\dfrac14 dx^{2}.

Проверка: 1+arcsin⁡0=11 + \arcsin 0 = 1. Дифференцируем:3x2y+x3y′+y′−11−(y−x)2=0.3x^{2}y + x^{3}y' + \dfrac{y'-1}{\sqrt{1-(y-x)^{2}}} = 0.При (1,1)(1,1): 3+y′+(y′−1)=0⇒2y′=−2⇒y′=−13 + y' + (y'-1) = 0 \Rightarrow 2y' = -2 \Rightarrow y' = -1. Дифференцируем ещё раз. Первое слагаемое P=3x2y+x3y′P = 3x^{2}y + x^{3}y':P′=6xy+6x2y′+x3y′′  →(1,1)6−6+y′′=y′′.P' = 6xy + 6x^{2}y' + x^{3}y'' \;\xrightarrow{(1,1)} 6 - 6 + y'' = y''.Второе слагаемое Q=y′−11−(y−x)2Q = \dfrac{y'-1}{\sqrt{1-(y-x)^{2}}}:Q′=y′′(1−(y−x)2)+(y′−1)2(y−x)(1−(y−x)2)3/2  →(1,1)  y′′.Q' = \dfrac{y''(1-(y-x)^{2}) + (y'-1)^{2}(y-x)}{(1-(y-x)^{2})^{3/2}} \;\xrightarrow{(1,1)}\; y''.Сумма P′+Q′=2y′′=0⇒y′′=0P'+Q' = 2y'' = 0 \Rightarrow y'' = 0. Следовательно, d2y=0d^{2}y = 0.

Проверка: 3⋅0+arctg⁡0=03\cdot0 + \operatorname{arctg}0 = 0. Дифференцируем:3(y′−1)+11+(y/x)2⋅y′x−yx2=0.3(y'-1) + \dfrac{1}{1+(y/x)^{2}} \cdot \dfrac{y'x-y}{x^{2}} = 0.Упрощаем дробь до y′x−yx2+y2\dfrac{y'x-y}{x^{2}+y^{2}}. В точке (1,0)(1,0):3(y′−1)+y′=0⇒4y′=3⇒y′=34.3(y'-1) + y' = 0 \Rightarrow 4y' = 3 \Rightarrow y' = \dfrac34.Дифференцируем ещё раз. Первое слагаемое даст 3y′′3y''. Второе S=y′x−yx2+y2S = \dfrac{y'x-y}{x^{2}+y^{2}}:S′=y′′x(x2+y2)−(y′x−y)(2x+2yy′)(x2+y2)2.S' = \dfrac{y''x(x^{2}+y^{2}) - (y'x-y)(2x+2yy')}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.В точке (1,0)(1,0): x2+y2=1,  y′x−y=3/4,  2x+2yy′=2x^{2}+y^{2}=1,\; y'x-y=3/4,\; 2x+2yy'=2.S′=y′′⋅1⋅1−(3/4)⋅21=y′′−32.S' = \dfrac{y''\cdot1\cdot1 - (3/4)\cdot2}{1} = y'' - \dfrac32.Суммируем: 3y′′+y′′−32=0⇒4y′′=32⇒y′′=383y'' + y'' - \dfrac32 = 0 \Rightarrow 4y'' = \dfrac32 \Rightarrow y'' = \dfrac38. Тогда d2y=38dx2d^{2}y = \dfrac38 dx^{2}.
Кудрявцев № 15.22 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика