Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.21

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.21

Найти вторую производную y′′y'' для функции, заданной неявно:

1) x2+y2=a2x^{2}+y^{2}=a^{2};
2) x2−y2=a2x^{2}-y^{2}=a^{2};
3) x2a2+y2b2=1\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1;
4) y2=2pxy^{2}=2px;
5) ex−y=x+ye^{x-y}=x+y;
6) e2y−2ln⁡x−1=0e^{2y}-2\ln x-1=0;
7) y−xtg⁡ln⁡x2+y2=0y-x\tg\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0;
8) y2=ex4−y2y^{2}=e^{x^{4}-y^{2}}.
Ответ:1) −a2y3;1)\ -\dfrac{a^{2}}{y^{3}};2) −a2y3;2)\ -\dfrac{a^{2}}{y^{3}};3) −b4a2y3;3)\ -\dfrac{b^{4}}{a^{2}y^{3}};4) −p2y3;4)\ -\dfrac{p^{2}}{y^{3}};5) 4(x+y)(x+y+1)3;5)\ \dfrac{4(x+y)}{(x+y+1)^{3}};6) −3+2ln⁡xx2(1+2ln⁡x)2;6)\ -\dfrac{3+2\ln x}{x^{2}(1+2\ln x)^{2}};7) 2(x2+y2)(x−y)3;7)\ \dfrac{2(x^{2}+y^{2})}{(x-y)^{3}};8) 6x2y(1+y2)2+4x6y(1−y2)(1+y2)38)\ \dfrac{6x^{2}y(1+y^{2})^{2} + 4x^{6}y(1-y^{2})}{(1+y^{2})^{3}}

Решение

Дифференцируем по xx: 2x+2yy′=02x + 2y y' = 0, откуда y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}. Дифференцируем ещё раз:2+2(y′)2+2yy′′=0  ⇒  1+(y′)2+yy′′=0.2 + 2(y')^{2} + 2y y'' = 0 \;\Rightarrow\; 1 + (y')^{2} + y y'' = 0.Подставляем y′y':1+x2y2+yy′′=0  ⇒  yy′′=−x2+y2y2=−a2y2.1 + \dfrac{x^{2}}{y^{2}} + y y'' = 0 \;\Rightarrow\; y y'' = -\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}} = -\dfrac{a^{2}}{y^{2}}.Следовательно, y′′=−a2y3y'' = -\dfrac{a^{2}}{y^{3}}.
Дифференцируем: 2x−2yy′=0⇒y′=xy2x - 2y y' = 0 \Rightarrow y' = \dfrac{x}{y}. Дифференцируем ещё раз:2−2[(y′)2+yy′′]=0  ⇒  1−(y′)2−yy′′=0.2 - 2[(y')^{2} + y y''] = 0 \;\Rightarrow\; 1 - (y')^{2} - y y'' = 0.Подставляем y′y':yy′′=1−x2y2=y2−x2y2=−a2y2  ⇒  y′′=−a2y3.y y'' = 1 - \dfrac{x^{2}}{y^{2}} = \dfrac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}} = -\dfrac{a^{2}}{y^{2}} \;\Rightarrow\; y'' = -\dfrac{a^{2}}{y^{3}}.
Дифференцируем: 2xa2+2yb2y′=0⇒y′=−b2xa2y\dfrac{2x}{a^{2}} + \dfrac{2y}{b^{2}} y' = 0 \Rightarrow y' = -\dfrac{b^{2}x}{a^{2}y}. Дифференцируем ещё раз:2a2+2b2(y′)2+2yb2y′′=0  ⇒  b2a2+(y′)2+yy′′=0.\dfrac{2}{a^{2}} + \dfrac{2}{b^{2}}(y')^{2} + \dfrac{2y}{b^{2}} y'' = 0 \;\Rightarrow\; \dfrac{b^{2}}{a^{2}} + (y')^{2} + y y'' = 0.Подставляем y′y' и используем уравнение эллипса b2x2+a2y2=a2b2b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}:yy′′=−b2a2−b4x2a4y2=−b2a2y2(y2+b2a2x2)=−b2a2y2⋅b2=−b4a2y2.y y'' = -\dfrac{b^{2}}{a^{2}} - \dfrac{b^{4}x^{2}}{a^{4}y^{2}} = -\dfrac{b^{2}}{a^{2}y^{2}}\Bigl(y^{2}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}\Bigr) = -\dfrac{b^{2}}{a^{2}y^{2}}\cdot b^{2} = -\dfrac{b^{4}}{a^{2}y^{2}}.Отсюда y′′=−b4a2y3y'' = -\dfrac{b^{4}}{a^{2}y^{3}}.
Дифференцируем: 2yy′=2p⇒y′=py2y y' = 2p \Rightarrow y' = \dfrac{p}{y}. Дифференцируем ещё раз:2(y′)2+2yy′′=0  ⇒  yy′′=−(y′)2=−p2y2  ⇒  y′′=−p2y3.2(y')^{2} + 2y y'' = 0 \;\Rightarrow\; y y'' = -(y')^{2} = -\dfrac{p^{2}}{y^{2}} \;\Rightarrow\; y'' = -\dfrac{p^{2}}{y^{3}}.
Дифференцируем: ex−y(1−y′)=1+y′e^{x-y}(1-y') = 1 + y'. Решаем относительно y′y':ex−y−1=y′(1+ex−y)  ⇒  y′=ex−y−1ex−y+1.e^{x-y} - 1 = y'(1+e^{x-y}) \;\Rightarrow\; y' = \dfrac{e^{x-y}-1}{e^{x-y}+1}.С учётом ex−y=x+ye^{x-y}=x+y получаем y′=x+y−1x+y+1y' = \dfrac{x+y-1}{x+y+1}. Дифференцируем как частное u=x+y−1u = x+y-1, v=x+y+1v = x+y+1:y′′=(1+y′)v−u(1+y′)v2=(1+y′)(v−u)v2=2(1+y′)(x+y+1)2.y'' = \dfrac{(1+y')v - u(1+y')}{v^{2}} = \dfrac{(1+y')(v-u)}{v^{2}} = \dfrac{2(1+y')}{(x+y+1)^{2}}.Находим 1+y′=1+x+y−1x+y+1=2(x+y)x+y+11+y' = 1 + \dfrac{x+y-1}{x+y+1} = \dfrac{2(x+y)}{x+y+1}. Подставляем:y′′=4(x+y)(x+y+1)3.y'' = \dfrac{4(x+y)}{(x+y+1)^{3}}.
Дифференцируем: 2e2yy′−2x=0⇒y′=1xe2y2e^{2y}y' - \dfrac{2}{x} = 0 \Rightarrow y' = \dfrac{1}{xe^{2y}}. С учётом e2y=1+2ln⁡xe^{2y}=1+2\ln x имеем y′=1x(1+2ln⁡x)y' = \dfrac{1}{x(1+2\ln x)}. Дифференцируем как (x(1+2ln⁡x))−1(x(1+2\ln x))^{-1}:y′′=−1(x(1+2ln⁡x))2⋅(1+2ln⁡x+2)=−3+2ln⁡xx2(1+2ln⁡x)2.y'' = -\dfrac{1}{(x(1+2\ln x))^{2}} \cdot (1+2\ln x + 2) = -\dfrac{3+2\ln x}{x^{2}(1+2\ln x)^{2}}.
Преобразуем уравнение: ln⁡x2+y2=12ln⁡(x2+y2)\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2}), тогда yx=tg⁡ ⁣(12ln⁡(x2+y2))\dfrac{y}{x} = \tg\!\Bigl(\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2})\Bigr), откуда 12ln⁡(x2+y2)=arctg⁡yx\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2}) = \operatorname{arctg}\dfrac{y}{x} (главная ветвь). Дифференцируем:x+yy′x2+y2=y′x−yx2+y2  ⇒  x+yy′=xy′−y.\dfrac{x+yy'}{x^{2}+y^{2}} = \dfrac{y'x-y}{x^{2}+y^{2}} \;\Rightarrow\; x+yy' = xy' - y.Отсюда y′(y−x)=−(x+y)y'(y-x) = -(x+y) и y′=x+yx−yy' = \dfrac{x+y}{x-y}. Дифференцируем y′y' как частное:y′′=(1+y′)(x−y)−(x+y)(1−y′)(x−y)2=−2y+2xy′(x−y)2.y'' = \dfrac{(1+y')(x-y) - (x+y)(1-y')}{(x-y)^{2}} = \dfrac{-2y + 2xy'}{(x-y)^{2}}.Подставляем y′y':−2y+2xx+yx−y=2(x2+y2)x−y  ⇒  y′′=2(x2+y2)(x−y)3.-2y + 2x\dfrac{x+y}{x-y} = \dfrac{2(x^{2}+y^{2})}{x-y} \;\Rightarrow\; y'' = \dfrac{2(x^{2}+y^{2})}{(x-y)^{3}}.Логарифмируем: ln⁡y2=x4−y2⇒2ln⁡∣y∣=x4−y2\ln y^{2} = x^{4} - y^{2} \Rightarrow 2\ln|y| = x^{4} - y^{2}. Дифференцируем:2yy′=4x3−2yy′  ⇒  (2y+2y)y′=4x3.\dfrac{2}{y}y' = 4x^{3} - 2y y' \;\Rightarrow\; \Bigl(\dfrac{2}{y} + 2y\Bigr)y' = 4x^{3}.Умножаем на yy: 2y′(1+y2)=4x3y2y'(1+y^{2}) = 4x^{3}y, откуда y′=2x3y1+y2y' = \dfrac{2x^{3}y}{1+y^{2}}. Представляем y′=2x3⋅y1+y2y' = 2x^{3} \cdot \dfrac{y}{1+y^{2}} и дифференцируем произведение:y′′=(2x3)′⋅y1+y2+2x3⋅(y1+y2)′.y'' = (2x^{3})' \cdot \dfrac{y}{1+y^{2}} + 2x^{3} \cdot \Bigl(\dfrac{y}{1+y^{2}}\Bigr)'.(2x3)′=6x2,(y1+y2)′=y′(1−y2)(1+y2)2.(2x^{3})' = 6x^{2},\qquad \Bigl(\dfrac{y}{1+y^{2}}\Bigr)' = \dfrac{y'(1-y^{2})}{(1+y^{2})^{2}}.Подставляем y′y':(y1+y2)′=1−y2(1+y2)2⋅2x3y1+y2=2x3y(1−y2)(1+y2)3.\Bigl(\dfrac{y}{1+y^{2}}\Bigr)' = \dfrac{1-y^{2}}{(1+y^{2})^{2}} \cdot \dfrac{2x^{3}y}{1+y^{2}} = \dfrac{2x^{3}y(1-y^{2})}{(1+y^{2})^{3}}.Собираем:y′′=6x2y1+y2+4x6y(1−y2)(1+y2)3=6x2y(1+y2)2+4x6y(1−y2)(1+y2)3.y'' = \dfrac{6x^{2}y}{1+y^{2}} + \dfrac{4x^{6}y(1-y^{2})}{(1+y^{2})^{3}} = \dfrac{6x^{2}y(1+y^{2})^{2} + 4x^{6}y(1-y^{2})}{(1+y^{2})^{3}}.
Кудрявцев № 15.21 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика