Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.20

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть для функции

y = f(x)

известны

f'(x), f''(x), f'''(x)

. Найти вторую и третью производные обратной функции

x = f^{-1}(y)

Ответ:

x''_{y} = -\dfrac{f''(x)}{(f'(x))^{3}},\ x'''_{y} = \dfrac{3(f''(x))^{2} - f'(x)f'''(x)}{(f'(x))^{5}}

Решение

Обозначим обратную функцию

x = x(y)

. Тогда

x'(y) = \dfrac{1}{f'(x)}.

Дифференцируем по

y

, учитывая, что

x = x(y)

\begin{aligned}x''(y) &= \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{1}{f'(x)}\right)= -\dfrac{f''(x)}{(f'(x))^{2}} \cdot x'(y)= -\dfrac{f''(x)}{(f'(x))^{3}}.\end{aligned}

Дифференцируем ещё раз:

\begin{aligned}x'''(y) &= \dfrac{d}{dy}\!\left(-\dfrac{f''(x)}{(f'(x))^{3}}\right)= \\&= -\dfrac{f'''(x) \cdot x'(y) \cdot (f'(x))^{3} - f''(x) \cdot 3(f'(x))^{2} f''(x) \cdot x'(y)}{(f'(x))^{6}}= \\&= -\dfrac{f'''(x) \cdot \dfrac{1}{f'(x)} \cdot (f'(x))^{3} - 3(f''(x))^{2} \cdot \dfrac{1}{f'(x)} \cdot (f'(x))^{2}}{(f'(x))^{6}} =\\&= \dfrac{3(f''(x))^{2} - f'(x) f'''(x)}{(f'(x))^{5}}.\end{aligned}