Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.2

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.2

Найти вторую производную в указанной точке:

1) y=ex,  x=4y = e^{\sqrt{x}},\; x = 4;
2) y=x5(x−1)4,  x=5y = \dfrac{x^5}{(x-1)^4},\; x = 5;
3) y=arcsin⁡x1−x2,  x=0y = \dfrac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}},\; x = 0;
4) y=esin⁡xcos⁡(sin⁡x),  x=0y = e^{\sin x} \cos(\sin x),\; x = 0.
Ответ:1) e232;1)\ \dfrac{e^2}{32};
2) 6251024;2)\ \dfrac{625}{1024};
3) 0;3)\ 0;
4) 04)\ 0

Решение

y′=ex⋅12x=12exx−1/2y' = e^{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac12 e^{\sqrt{x}} x^{-1/2}.y′′=\displaystyle y''\mathrel{=}12[ex⋅12x⋅x−1/2+ex⋅(−12)x−3/2]=\displaystyle \dfrac12\Bigl[ e^{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x^{-1/2} + e^{\sqrt{x}}\cdot\Bigl(-\dfrac12\Bigr)x^{-3/2} \Bigr]\mathrel{=}12ex(12x−12x3/2).\displaystyle \dfrac12 e^{\sqrt{x}}\Bigl( \dfrac{1}{2x} - \dfrac{1}{2x^{3/2}} \Bigr).При x=4x = 4: x=2,  ex=e2\sqrt{x}=2,\; e^{\sqrt{x}}=e^2.y′′(4)=12e2(18−116)=12e2⋅116=e232.y''(4) = \dfrac12 e^2\Bigl( \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{16} \Bigr) = \dfrac12 e^2\cdot\dfrac{1}{16} = \dfrac{e^2}{32}.
Найдём первую производную:y′=5x4(x−1)−4+x5⋅(−4)(x−1)−5=5x4(x−1)4−4x5(x−1)5==5x4(x−1)−4x5(x−1)5=x5−5x4(x−1)5=x4(x−5)(x−1)5.\begin{aligned}
y' &= 5x^4 (x-1)^{-4} + x^5\cdot(-4)(x-1)^{-5} = \dfrac{5x^4}{(x-1)^4} - \dfrac{4x^5}{(x-1)^5} = \\
&= \dfrac{5x^4(x-1) - 4x^5}{(x-1)^5} = \dfrac{x^5 - 5x^4}{(x-1)^5}
= \dfrac{x^4(x-5)}{(x-1)^5}.
\end{aligned}Представим y′=x4(x−5)(x−1)−5y' = x^4(x-5)(x-1)^{-5} и применим правило произведения к u=x4(x−5)u = x^4(x-5), v=(x−1)−5v = (x-1)^{-5}:u′=4x3(x−5)+x4=5x4−20x3=5x3(x−4),v′=−5(x−1)−6.u' = 4x^3(x-5) + x^4 = 5x^4 - 20x^3 = 5x^3(x-4),\quad v' = -5(x-1)^{-6}.y′′=\displaystyle y''\mathrel{=}u′v+uv′=\displaystyle u'v + uv'\mathrel{=}5x3(x−4)(x−1)−5+x4(x−5)(−5(x−1)−6)=\displaystyle 5x^3(x-4)(x-1)^{-5} + x^4(x-5)\bigl(-5(x-1)^{-6}\bigr)\mathrel{=}5x3(x−4)(x−1)5−5x4(x−5)(x−1)6.\displaystyle \dfrac{5x^3(x-4)}{(x-1)^5} - \dfrac{5x^4(x-5)}{(x-1)^6}.Приводим к общему знаменателю (x−1)6(x-1)^6:y′′=\displaystyle y''\mathrel{=}5x3(x−4)(x−1)−5x4(x−5)(x−1)6=\displaystyle \dfrac{5x^3(x-4)(x-1) - 5x^4(x-5)}{(x-1)^6}\mathrel{=}5x3[(x2−5x+4)−(x2−5x)](x−1)6=\displaystyle \dfrac{5x^3\bigl[(x^2 -5x +4) - (x^2 -5x)\bigr]}{(x-1)^6}\mathrel{=}5x3⋅4(x−1)6=\displaystyle \dfrac{5x^3\cdot 4}{(x-1)^6}\mathrel{=}20x3(x−1)6.\displaystyle \dfrac{20x^3}{(x-1)^6}.При x=5x = 5:y′′(5)=20⋅12546=25004096=6251024.y''(5) = \dfrac{20\cdot 125}{4^6} = \dfrac{2500}{4096} = \dfrac{625}{1024}.
Продифференцируем:y′=\displaystyle y'\mathrel{=}11−x2⋅1−x2−arcsin⁡x⋅−x1−x21−x2=\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot\sqrt{1-x^2} - \arcsin x\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\mathrel{=}1+xarcsin⁡x1−x21−x2=\displaystyle \dfrac{1 + \dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\mathrel{=}11−x2+xarcsin⁡x(1−x2)3/2.\displaystyle \dfrac{1}{1-x^2} + \dfrac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{3/2}}.При x=0x = 0: arcsin⁡0=0\arcsin 0 = 0, следовательно, y′(0)=1y'(0) = 1.
Второе слагаемое в y′y' содержит множитель xarcsin⁡xx\arcsin x, который в окрестности нуля есть O(x2)O(x^2), поэтому его производная в нуле равна нулю. Производная первого слагаемого:
ddx(11−x2)=2x(1−x2)2\dfrac{d}{dx}\Bigl(\dfrac{1}{1-x^2}\Bigr) = \dfrac{2x}{(1-x^2)^2}.
При x=0x = 0 она равна 00. Следовательно, y′′(0)=0y''(0) = 0.
Положим u=sin⁡xu = \sin x. Тогда y=eucos⁡uy = e^u \cos u.
y′=(eucos⁡u)u′⋅u′=eu(cos⁡u−sin⁡u)cos⁡xy' = (e^u \cos u)'_u \cdot u' = e^u(\cos u - \sin u)\cos x.
При x=0x = 0: u=0, cos⁡0=1, sin⁡0=0, cos⁡x=1u = 0,\ \cos 0 = 1,\ \sin 0 = 0,\ \cos x = 1, откуда y′(0)=1y'(0) = 1.
Обозначим A(x)=esin⁡x(cos⁡(sin⁡x)−sin⁡(sin⁡x))A(x) = e^{\sin x}\bigl(\cos(\sin x) - \sin(\sin x)\bigr). Тогда y′=A(x)cos⁡xy' = A(x)\cos x.
y′′=A′(x)cos⁡x−A(x)sin⁡xy'' = A'(x)\cos x - A(x)\sin x.
Вычислим A′(x)=ddx(esin⁡x(cos⁡(sin⁡x)−sin⁡(sin⁡x)))A'(x) = \dfrac{d}{dx}\Bigl(e^{\sin x}\bigl(\cos(\sin x) - \sin(\sin x)\bigr)\Bigr).
Продифференцируем как произведение B(x)=esin⁡xB(x) = e^{\sin x}, C(x)=cos⁡(sin⁡x)−sin⁡(sin⁡x)C(x) = \cos(\sin x) - \sin(\sin x).
B′=esin⁡xcos⁡xB' = e^{\sin x}\cos x, C′=[−sin⁡(sin⁡x)−cos⁡(sin⁡x)]cos⁡xC' = \bigl[-\sin(\sin x) - \cos(\sin x)\bigr]\cos x.
Тогда
A′(x)=B′C+BC′=esin⁡xcos⁡x(cos⁡(sin⁡x)−sin⁡(sin⁡x))+esin⁡x(−sin⁡(sin⁡x)−cos⁡(sin⁡x))cos⁡x.A'(x) = B' C + B C' = e^{\sin x}\cos x\bigl(\cos(\sin x) - \sin(\sin x)\bigr) + e^{\sin x}\bigl(-\sin(\sin x) - \cos(\sin x)\bigr)\cos x.
При x=0x = 0: A′(0)=1⋅1⋅(1−0)+1⋅(0−1)⋅1=1−1=0A'(0) = 1\cdot1\cdot(1 - 0) + 1\cdot(0 - 1)\cdot1 = 1 - 1 = 0.
Подставляем в y′′y'' при x=0x = 0:
y′′(0)=A′(0)cos⁡0−A(0)sin⁡0=0⋅1−1⋅0=0y''(0) = A'(0)\cos 0 - A(0)\sin 0 = 0\cdot1 - 1\cdot0 = 0.
Кудрявцев № 15.2 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика