Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.17

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

1)

x = t^{3}+t,\ y = \dfrac34t^{4}+\dfrac12t^{2}+1,\ y''(1+3y'^{2}) = 1

;
2)

x = e^{t}\cos t,\ y = e^{t}\sin t,\ (x-y)^{2}y'' = 2(xy'-y)

;
3)

x = \sin t,\ y = Ae^{\sqrt{2}t} + Be^{-\sqrt{2}t},\ (1-x^{2})y'' - xy' = 2y

;
4)

x = 3At^{2} + \ln Bt,\ y = 2At^{3} + t\ (A,B>0),\ (3y-2y')y'' = y'^{2}

Доказано:

\text{все функции удовлетворяют соответствующим уравнениям}

Доказательство

\dot x = 3t^{2}+1,\ \dot y = 3t^{3}+t

y' = t,\ y'' = \dfrac{1}{3t^{2}+1}

. Подставляем:

y''(1+3y'^{2}) = \dfrac{1}{3t^{2}+1}(1+3t^{2}) = 1

. Уравнение выполнено.

\dot x = e^{t}(\cos t - \sin t),\ \dot y = e^{t}(\sin t + \cos t)

y' = \dfrac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}

. Дифференцируем

y'

\dfrac{d}{dt}(y') = \dfrac{2}{(\cos t - \sin t)^{2}}

y'' = \dfrac{2}{e^{t}(\cos t - \sin t)^{3}}

. Левая часть:

(x-y)^{2}y'' = \dfrac{2e^{t}}{\cos t - \sin t}

. Правая часть:

2(xy'-y) = 2e^{t}\!\left(\cos t\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t} - \sin t\right) = \dfrac{2e^{t}}{\cos t - \sin t}

. Равенство верно.

\dot x = \cos t,\ \ddot x = -\sin t,\ \dot y = \sqrt{2}(Ae^{\sqrt{2}t} - Be^{-\sqrt{2}t}),\ \ddot y = 2y

y' = \dfrac{\dot y}{\cos t},\ y'' = \dfrac{2y\cos t + \dot y\sin t}{\cos^{3}t}

(1-x^{2})y'' - xy' = \cos^{2}t\cdot\dfrac{2y\cos t + \dot y\sin t}{\cos^{3}t} - \sin t\cdot\dfrac{\dot y}{\cos t} = 2y

. Уравнение выполнено.

\dot x = 6At + \dfrac{1}{t},\ \dot y = 6At^{2} + 1

y' = t,\ y'' = \dfrac{t}{6At^{2}+1}

(3y-2y')y'' = (6At^{3}+t)\cdot\dfrac{t}{6At^{2}+1} = t^{2} = y'^{2}

. Уравнение выполнено.

Что и требовалось доказать