Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.16

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\dfrac{d^{2}x}{dy^{2}}

для функций, заданных параметрически:

1)

x = -2 + 3t - t^{3},\ y = t + 2t^{2} + t^{3}

;
2)

x = \ln\tg\dfrac{t}{2},\ y = \ln\tg t

;
3)

x = \log_{5}\sin t,\ y = \log_{5}\cos t

;
4)

x = \arcsin\tg t,\ y = \sqrt{\cos 2t}\ (\cos 2t > 0)

Ответ:

1)\ -\dfrac{12}{(1+t)(1+3t)^{3}};

2)\ -\sin^{2}t \cos t;

3)\ -2\ln 5\,\dfrac{\cos^{2}t}{\sin^{4}t};

4)\ -\dfrac{(\cos^{2}t - 2\sin^{2}t)\sqrt{\cos 2t}}{4\sin^{3}t \cos^{4}t}

Решение

\dot x = 3(1-t)(1+t),\ \dot y = (1+t)(1+3t)

. Сокращая

1+t\ (t \neq -1)

, получаем

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{3(1-t)}{1+3t}

. Дифференцируем по

t

\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3-3t}{1+3t}\right) = -\dfrac{12}{(1+3t)^{2}}

. Делим на

\dot y

\dfrac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\dfrac{12}{(1+t)(1+3t)^{3}}

\dot x = \dfrac{1}{\sin t},\ \dot y = \dfrac{1}{\sin t\cos t}

. Первая производная:

\dfrac{dx}{dy} = \cos t

. Дифференцируем по

t

\dfrac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t

. Делим на

\dot y

\dfrac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\sin^{2}t \cos t

\dot x = \dfrac{\ctg t}{\ln 5},\ \dot y = -\dfrac{\tg t}{\ln 5}

. Первая производная:

\dfrac{dx}{dy} = -\ctg^{2}t

. Дифференцируем по

t

\dfrac{d}{dt}(-\ctg^{2}t) = 2\ctg t \csc^{2}t

. Делим на

\dot y

\dfrac{d^{2}x}{dy^{2}} = -2\ln 5\,\dfrac{\cos^{2}t}{\sin^{4}t}

\dot x = \dfrac{1}{\cos t\sqrt{\cos 2t}},\ \dot y = -\dfrac{\sin 2t}{\sqrt{\cos 2t}}

. Первая производная:

\dfrac{dx}{dy} = -\dfrac{1}{2\sin t\cos^{2}t}

. Дифференцируем по

t

\dfrac{d}{dt}\!\left(-\dfrac{1}{2\sin t\cos^{2}t}\right) = \dfrac{\cos^{2}t - 2\sin^{2}t}{2\sin^{2}t \cos^{3}t}

. Делим на

\dot y

\dfrac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\dfrac{(\cos^{2}t - 2\sin^{2}t)\sqrt{\cos 2t}}{4\sin^{3}t \cos^{4}t}