Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.15

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.15

Найти d2ydx2\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} в заданной точке:

1) x=(t2+1)et, y=t2e2t, (1;0)x = (t^{2}+1)e^{t},\ y = t^{2}e^{2t},\ (1;0);
2) x=2t−t2t−1, y=t2t−1, (0;4)x = \dfrac{2t-t^{2}}{t-1},\ y = \dfrac{t^{2}}{t-1},\ (0;4);
3) x=ln⁡(1+sin⁡φ), y=ln⁡(1−cos⁡2φ), (ln⁡32; ln⁡12)x = \ln(1+\sin\varphi),\ y = \ln(1-\cos 2\varphi),\ (\ln\dfrac32;\,\ln\dfrac12);
4) x=ch⁡tsin⁡t+sh⁡tcos⁡t, y=ch⁡tcos⁡t−sh⁡tsin⁡t, (0;1)x = \ch t\sin t + \sh t\cos t,\ y = \ch t\cos t - \sh t\sin t,\ (0;1).
Ответ:1) 2;1)\ 2;
2) 12;2)\ \dfrac12;
3) −12;3)\ -12;
4) −124)\ -\dfrac12

Решение

Из y=0y = 0 находим t=0t = 0, x(0)=1x(0) = 1. Вычисляем производные при t=0t=0: x˙=et(t+1)2, x¨=et(t+1)(t+3), y˙=2te2t(1+t), y¨=2e2t(1+3t+2t2)\dot x = e^{t}(t+1)^{2},\ \ddot x = e^{t}(t+1)(t+3),\ \dot y = 2t e^{2t}(1+t),\ \ddot y = 2e^{2t}(1+3t+2t^{2}). При t=0t=0: x˙=1, x¨=3, y˙=0, y¨=2\dot x = 1,\ \ddot x = 3,\ \dot y = 0,\ \ddot y = 2. По формуле d2ydx2=y¨x˙−y˙x¨x˙3\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{\ddot y\dot x - \dot y\ddot x}{\dot x^{3}} получаем d2ydx2∣(1;0)=2\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\Big|_{(1;0)} = 2.

Из y=4y = 4 находим t=2t = 2, x(2)=0x(2) = 0. Упростим: x=1−t+1t−1, y=t+1+1t−1x = 1 - t + \dfrac{1}{t-1},\ y = t + 1 + \dfrac{1}{t-1}. Тогда x˙=−1−1(t−1)2, x¨=2(t−1)3, y˙=1−1(t−1)2, y¨=2(t−1)3\dot x = -1 - \dfrac{1}{(t-1)^{2}},\ \ddot x = \dfrac{2}{(t-1)^{3}},\ \dot y = 1 - \dfrac{1}{(t-1)^{2}},\ \ddot y = \dfrac{2}{(t-1)^{3}}. При t=2t=2: x˙=−2, x¨=2, y˙=0, y¨=2\dot x = -2,\ \ddot x = 2,\ \dot y = 0,\ \ddot y = 2. d2ydx2∣(0;4)=2⋅(−2)−0⋅2(−2)3=12\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\Big|_{(0;4)} = \dfrac{2\cdot(-2) - 0\cdot2}{(-2)^{3}} = \dfrac12.

Из x=ln⁡32x = \ln\dfrac32 и y=ln⁡12y = \ln\dfrac12 находим sin⁡φ=12, cos⁡2φ=12\sin\varphi = \dfrac12,\ \cos2\varphi = \dfrac12, откуда φ=π6\varphi = \dfrac{\pi}{6}. Производные: x˙=cos⁡φ1+sin⁡φ, x¨=−11+sin⁡φ, y˙=2ctg⁡φ, y¨=−2csc⁡2φ\dot x = \dfrac{\cos\varphi}{1+\sin\varphi},\ \ddot x = -\dfrac{1}{1+\sin\varphi},\ \dot y = 2\ctg\varphi,\ \ddot y = -2\csc^{2}\varphi. При φ=π6\varphi = \dfrac{\pi}{6}: x˙=33, x¨=−23, y˙=23, y¨=−8\dot x = \dfrac{\sqrt{3}}{3},\ \ddot x = -\dfrac{2}{3},\ \dot y = 2\sqrt{3},\ \ddot y = -8. d2ydx2=−12\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = -12.
x˙=2ch⁡tcos⁡t, x¨=2(sh⁡tcos⁡t−ch⁡tsin⁡t), y˙=−2ch⁡tsin⁡t, y¨=−2(sh⁡tsin⁡t+ch⁡tcos⁡t)\dot x = 2\ch t\cos t,\ \ddot x = 2(\sh t\cos t - \ch t\sin t),\ \dot y = -2\ch t\sin t,\ \ddot y = -2(\sh t\sin t + \ch t\cos t). При t=0t=0: x˙=2, x¨=0, y˙=0, y¨=−2\dot x = 2,\ \ddot x = 0,\ \dot y = 0,\ \ddot y = -2. d2ydx2∣(0;1)=(−2)⋅2−0⋅023=−12\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\Big|_{(0;1)} = \dfrac{(-2)\cdot2 - 0\cdot0}{2^{3}} = -\dfrac12.
Кудрявцев № 15.15 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика