Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.14

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.14

Найти d2ydx2\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} для функций, заданных параметрически:

1) x=t3, y=t2x = t^{3},\ y = t^{2};
2) x=t21+t3, y=t31+t3x = \dfrac{t^{2}}{1+t^{3}},\ y = \dfrac{t^{3}}{1+t^{3}};
3) x=ln⁡cos⁡t, y=ln⁡cos⁡2tx = \ln\cos t,\ y = \ln\cos 2t;
4) x=acos⁡t, y=bsin⁡tx = a\cos t,\ y = b\sin t;
5) x=(1+cos⁡2t)sin⁡t, y=sin⁡2tcos⁡tx = (1+\cos^{2}t)\sin t,\ y = \sin^{2}t\cos t;
6) x=tch⁡t−sh⁡t, y=tsh⁡t−ch⁡tx = t\ch t - \sh t,\ y = t\sh t - \ch t;
7) x=et1+t, y=(t−1)etx = \dfrac{e^{t}}{1+t},\ y = (t-1)e^{t};
8) x=1cos⁡t, y=tg⁡t−tx = \dfrac{1}{\cos t},\ y = \tg t - t;
9) x=sin⁡log⁡2t, y=tg⁡log⁡2tx = \sin\log_{2}t,\ y = \tg\log_{2}t;
10) x=2cos⁡2t, y=2sin⁡2tx = 2^{\cos^{2}t},\ y = 2^{\sin^{2}t}.
Ответ:1) −29t4;1)\ -\dfrac{2}{9t^{4}};
2) 6(1+t3)3t(2−t3)3;2)\ \dfrac{6(1+t^{3})^{3}}{t(2-t^{3})^{3}};
3) −8cos⁡2tcos⁡22t;3)\ -\dfrac{8\cos^{2}t}{\cos^{2}2t};
4) −ba2sin⁡3t;4)\ -\dfrac{b}{a^{2}\sin^{3}t};
5) 1cos⁡3t(3cos⁡2t−1);5)\ \dfrac{1}{\cos^{3}t(3\cos^{2}t - 1)};
6) −1tsh⁡3t;6)\ -\dfrac{1}{t\sh^{3}t};
7) 2(1+t)3tet;7)\ \dfrac{2(1+t)^{3}}{te^{t}};
8) cos⁡3tsin⁡t;8)\ \dfrac{\cos^{3}t}{\sin t};
9) 3tg⁡ucos⁡4u, u=log⁡2t;9)\ \dfrac{3\tg u}{\cos^{4}u},\ u = \log_{2}t;
10) 4⋅2−3cos⁡2t10)\ 4 \cdot 2^{-3\cos^{2}t}

Решение

x˙=3t2, y˙=2t\dot x = 3t^{2},\ \dot y = 2t. Первая производная: dydx=2t3t2=23t (t≠0)\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2t}{3t^{2}} = \dfrac{2}{3t}\ (t \neq 0). Дифференцируем по tt: ddt ⁣(23t)=−23t2\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{2}{3t}\right) = -\dfrac{2}{3t^{2}}. Делим на x˙\dot x: d2ydx2=−23t23t2=−29t4\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{-\frac{2}{3t^{2}}}{3t^{2}} = -\dfrac{2}{9t^{4}}.
x˙=t(2−t3)(1+t3)2, y˙=3t2(1+t3)2\dot x = \dfrac{t(2-t^{3})}{(1+t^{3})^{2}},\ \dot y = \dfrac{3t^{2}}{(1+t^{3})^{2}}. Первая производная: dydx=3t2−t3\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t}{2-t^{3}}. Дифференцируем по tt: ddt ⁣(3t2−t3)=6(1+t3)(2−t3)2\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2-t^{3}}\right) = \dfrac{6(1+t^{3})}{(2-t^{3})^{2}}. Делим на x˙\dot x: d2ydx2=6(1+t3)(2−t3)2t(2−t3)(1+t3)2=6(1+t3)3t(2−t3)3\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{\dfrac{6(1+t^{3})}{(2-t^{3})^{2}}}{\dfrac{t(2-t^{3})}{(1+t^{3})^{2}}} = \dfrac{6(1+t^{3})^{3}}{t(2-t^{3})^{3}}.
x˙=−tg⁡t, y˙=−2tg⁡2t\dot x = -\tg t,\ \dot y = -2\tg 2t. Первая производная: dydx=41−tg⁡2t\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4}{1-\tg^{2}t}. Дифференцируем по tt: ddt ⁣(41−tg⁡2t)=8tg⁡tsec⁡2t(1−tg⁡2t)2\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{4}{1-\tg^{2}t}\right) = \dfrac{8\tg t\sec^{2}t}{(1-\tg^{2}t)^{2}}. Делим на x˙\dot x: d2ydx2=−8sec⁡2t(1−tg⁡2t)2=−8cos⁡2tcos⁡22t\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\dfrac{8\sec^{2}t}{(1-\tg^{2}t)^{2}} = -\dfrac{8\cos^{2}t}{\cos^{2}2t}.
Используем формулу d2ydx2=y¨x˙−y˙x¨x˙3\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{\ddot y\dot x - \dot y\ddot x}{\dot x^{3}}. x˙=−asin⁡t, x¨=−acos⁡t, y˙=bcos⁡t, y¨=−bsin⁡t\dot x = -a\sin t,\ \ddot x = -a\cos t,\ \dot y = b\cos t,\ \ddot y = -b\sin t. Числитель: (−bsin⁡t)(−asin⁡t)−(bcos⁡t)(−acos⁡t)=ab(sin⁡2t+cos⁡2t)=ab(-b\sin t)(-a\sin t) - (b\cos t)(-a\cos t) = ab(\sin^{2}t + \cos^{2}t) = ab. Знаменатель: (−asin⁡t)3=−a3sin⁡3t(-a\sin t)^{3} = -a^{3}\sin^{3}t. Итак, d2ydx2=−ba2sin⁡3t\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\dfrac{b}{a^{2}\sin^{3}t}.
x˙=cos⁡t(3cos⁡2t−1), y˙=sin⁡t(3cos⁡2t−1)\dot x = \cos t(3\cos^{2}t - 1),\ \dot y = \sin t(3\cos^{2}t - 1). При 3cos⁡2t−1≠03\cos^{2}t - 1 \neq 0 первая производная: dydx=tg⁡t\dfrac{dy}{dx} = \tg t. Дифференцируем по tt: ddt(tg⁡t)=sec⁡2t\dfrac{d}{dt}(\tg t) = \sec^{2}t. Делим на x˙\dot x: d2ydx2=1cos⁡3t(3cos⁡2t−1)\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{1}{\cos^{3}t(3\cos^{2}t - 1)}.
x˙=tsh⁡t, y˙=tch⁡t\dot x = t\sh t,\ \dot y = t\ch t. Первая производная: dydx=cth⁡t (t≠0)\dfrac{dy}{dx} = \cth t\ (t \neq 0). Дифференцируем по tt: ddt(cth⁡t)=−1sh⁡2t\dfrac{d}{dt}(\cth t) = -\dfrac{1}{\sh^{2}t}. Делим на x˙\dot x: d2ydx2=−1tsh⁡3t\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\dfrac{1}{t\sh^{3}t}.
x˙=tet(1+t)2, y˙=tet\dot x = \dfrac{te^{t}}{(1+t)^{2}},\ \dot y = te^{t}. Первая производная: dydx=(1+t)2 (t≠0)\dfrac{dy}{dx} = (1+t)^{2}\ (t \neq 0). Дифференцируем по tt: ddt ⁣((1+t)2)=2(1+t)\dfrac{d}{dt}\!\left((1+t)^{2}\right) = 2(1+t). Делим на x˙\dot x: d2ydx2=2(1+t)3tet\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{2(1+t)^{3}}{te^{t}}.
x˙=sec⁡ttg⁡t, y˙=tg⁡2t\dot x = \sec t \tg t,\ \dot y = \tg^{2}t. Первая производная: dydx=sin⁡t\dfrac{dy}{dx} = \sin t. Дифференцируем по tt: ddt(sin⁡t)=cos⁡t\dfrac{d}{dt}(\sin t) = \cos t. Делим на x˙\dot x: d2ydx2=cos⁡3tsin⁡t\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{\cos^{3}t}{\sin t}.

Введём u=log⁡2tu = \log_{2}t, u′=1tln⁡2u' = \dfrac{1}{t\ln 2}. x=sin⁡u, y=tg⁡ux = \sin u,\ y = \tg u. x˙=cos⁡u⋅u′, y˙=u′sec⁡2u\dot x = \cos u \cdot u',\ \dot y = u'\sec^{2}u. Первая производная: dydx=1cos⁡3u\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos^{3}u}. Дифференцируем по tt: ddt ⁣(1cos⁡3u)=3sin⁡u⋅u′cos⁡4u\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{\cos^{3}u}\right) = \dfrac{3\sin u \cdot u'}{\cos^{4}u}. Делим на x˙\dot x: d2ydx2=3sin⁡ucos⁡5u=3tg⁡ucos⁡4u\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{3\sin u}{\cos^{5}u} = \dfrac{3\tg u}{\cos^{4}u}, где u=log⁡2tu = \log_{2}t.
ln⁡x=cos⁡2tln⁡2\ln x = \cos^{2}t \ln 2, x˙x=−sin⁡2tln⁡2\dfrac{\dot x}{x} = -\sin 2t \ln 2, x˙=−ln⁡2sin⁡2t⋅2cos⁡2t\dot x = -\ln 2\sin 2t \cdot 2^{\cos^{2}t}. Аналогично y˙=ln⁡2sin⁡2t⋅2sin⁡2t\dot y = \ln 2\sin 2t \cdot 2^{\sin^{2}t}. Первая производная: dydx=−2−cos⁡2t\dfrac{dy}{dx} = -2^{-\cos 2t}. Дифференцируем по tt: ddt ⁣(−2−cos⁡2t)=−2ln⁡2sin⁡2t⋅2−cos⁡2t\dfrac{d}{dt}\!\left(-2^{-\cos 2t}\right) = -2\ln 2\sin 2t \cdot 2^{-\cos 2t}. Делим на x˙\dot x: d2ydx2=2⋅21−3cos⁡2t=4⋅2−3cos⁡2t\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2 \cdot 2^{1 - 3\cos^{2}t} = 4 \cdot 2^{-3\cos^{2}t}.
Кудрявцев № 15.14 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика