Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.12

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

y''

, считая известными

u', u'', v', v''

(

u, v

— функции от

x

):

1)

y = \dfrac{v + 2u}{u}

;
2)

y = e^{uv}

;
3)

y = \operatorname{arctg}\dfrac{v}{u}

;
4)

y = \ln\sqrt{u^{2} + v^{2}}

Ответ:

1)\ \dfrac{u v'' - v u''}{u^{2}} - \dfrac{2u'(u v' - v u')}{u^{3}};

2)\ e^{uv}\bigl[(u'v + uv')^{2} + u''v + 2u'v' + uv''\bigr];

3)\ \dfrac{(v''u - vu'')(u^{2} + v^{2}) - (v'u - vu')(2uu' + 2vv')}{(u^{2} + v^{2})^{2}};

4)\ \dfrac{(u'^{2} + uu'' + v'^{2} + vv'')(u^{2} + v^{2}) - (uu' + vv')(2uu' + 2vv')}{(u^{2} + v^{2})^{2}}

Решение

y = \dfrac{v}{u} + 2

y' = \dfrac{v'u - vu'}{u^{2}}

.
Обозначим

N = v'u - vu'

D = u^{2}

N' = v''u - vu''

D' = 2uu'

y'' = \dfrac{(v''u - vu'')u^{2} - (v'u - vu')2uu'}{u^{4}}= \dfrac{u v'' - v u''}{u^{2}} - \dfrac{2u'(u v' - v u')}{u^{3}}.

y' = e^{uv}(u'v + uv')

y'' = e^{uv}(u'v + uv')^{2} + e^{uv}\bigl(u''v + 2u'v' + uv''\bigr)= e^{uv}\Bigl[(u'v + uv')^{2} + u''v + 2u'v' + uv''\Bigr].

y' = \dfrac{v'u - vu'}{u^{2} + v^{2}}

.
Обозначим

N = v'u - vu'

D = u^{2} + v^{2}

N' = v''u - vu''

D' = 2uu' + 2vv'

y'' = \dfrac{(v''u - vu'')(u^{2} + v^{2}) - (v'u - vu')(2uu' + 2vv')}{(u^{2} + v^{2})^{2}}.

y = \dfrac{1}{2}\ln(u^{2} + v^{2})

y' = \dfrac{uu' + vv'}{u^{2} + v^{2}}

.
Положим

N = uu' + vv'

D = u^{2} + v^{2}

N' = u'^{2} + uu'' + v'^{2} + vv''

D' = 2uu' + 2vv'

y'' = \dfrac{(u'^{2} + uu'' + v'^{2} + vv'')(u^{2} + v^{2}) - (uu' + vv')(2uu' + 2vv')}{(u^{2} + v^{2})^{2}}.