Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.11

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.11

Определить, удовлетворяет ли функция y=y(x)y = y(x) заданному уравнению:

1) y=Acos⁡ax+Bsin⁡ax,y′′+a2y=0y = A\cos ax + B\sin ax,\quad y'' + a^{2}y = 0;
2) y=Aeax+Be−ax,y′′−a2y=0y = Ae^{ax} + Be^{-ax},\quad y'' - a^{2}y = 0;
3) y=(Acos⁡3x+Bsin⁡3x)e−x,y′′+2y′+10y=0y = (A\cos 3x + B\sin 3x)e^{-x},\quad y'' + 2y' + 10y = 0;
4) y=Aex+Be−x−1x,y′′−y=x2−2x3y = Ae^{x} + Be^{-x} - \dfrac{1}{x},\quad y'' - y = \dfrac{x^{2} - 2}{x^{3}};
5) y=1+cos⁡ex+sin⁡ex,y′′−y′+e2xy=0y = 1 + \cos e^{x} + \sin e^{x},\quad y'' - y' + e^{2x}y = 0;
6) y=(x+1+x2)10,(1+x2)y′′+xy′−100y=0y = \bigl(x + \sqrt{1+x^{2}}\bigr)^{10},\quad (1+x^{2})y'' + xy' - 100y = 0;
7) y=e10arcsin⁡x,(1−x2)y′′−xy′−100y=0y = e^{10\arcsin x},\quad (1-x^{2})y'' - xy' - 100y = 0;
8) y=cos⁡(10arccos⁡x),(1−x2)y′′−xy′+100y=0y = \cos(10\arccos x),\quad (1-x^{2})y'' - xy' + 100y = 0.
Ответ:1) да;1)\ \text{да};
2) да;2)\ \text{да};
3) да;3)\ \text{да};
4) да;4)\ \text{да};
5) нет;5)\ \text{нет};
6) да;6)\ \text{да};
7) да;7)\ \text{да};
8) да8)\ \text{да}

Решение

y′=−Aasin⁡ax+Bacos⁡axy' = -Aa\sin ax + Ba\cos ax,
y′′=−Aa2cos⁡ax−Ba2sin⁡ax=−a2yy'' = -Aa^{2}\cos ax - Ba^{2}\sin ax = -a^{2}y.
Тогда y′′+a2y=−a2y+a2y=0y'' + a^{2}y = -a^{2}y + a^{2}y = 0. Удовлетворяет.
y′=Aaeax−Bae−axy' = Aa e^{ax} - Ba e^{-ax},
y′′=Aa2eax+Ba2e−ax=a2yy'' = Aa^{2} e^{ax} + Ba^{2} e^{-ax} = a^{2}y.
y′′−a2y=a2y−a2y=0y'' - a^{2}y = a^{2}y - a^{2}y = 0. Удовлетворяет.
Обозначим C=Acos⁡3x+Bsin⁡3xC = A\cos 3x + B\sin 3x, тогда y=e−xCy = e^{-x}C.
y′=e−x(C′−C)y' = e^{-x}(C' - C), y′′=e−x(C′′−2C′+C)y'' = e^{-x}(C'' - 2C' + C).
C′=−3Asin⁡3x+3Bcos⁡3xC' = -3A\sin 3x + 3B\cos 3x, C′′=−9CC'' = -9C.
Тогда y′′=e−x(−9C−2C′+C)=e−x(−8C−2C′)y'' = e^{-x}(-9C - 2C' + C) = e^{-x}(-8C - 2C').y′′+2y′+10y=e−x[(−8C−2C′)+2(C′−C)+10C]=0.y'' + 2y' + 10y = e^{-x}\bigl[(-8C - 2C') + 2(C' - C) + 10C\bigr] = 0.Удовлетворяет.
y′=Aex−Be−x+1x2y' = Ae^{x} - Be^{-x} + \dfrac{1}{x^{2}},
y′′=Aex+Be−x−2x3y'' = Ae^{x} + Be^{-x} - \dfrac{2}{x^{3}}.y′′−y=(Aex+Be−x−2x3)−(Aex+Be−x−1x)=x2−2x3.y'' - y = \Bigl(Ae^{x} + Be^{-x} - \dfrac{2}{x^{3}}\Bigr) - \Bigl(Ae^{x} + Be^{-x} - \dfrac{1}{x}\Bigr) = \dfrac{x^{2} - 2}{x^{3}}.Удовлетворяет.
Положим t=ext = e^{x}, тогда t′=tt' = t. y=1+cos⁡t+sin⁡ty = 1 + \cos t + \sin t.
y′=t(cos⁡t−sin⁡t)y' = t(\cos t - \sin t),
y′′=t(cos⁡t−sin⁡t)+t2(−sin⁡t−cos⁡t)y'' = t(\cos t - \sin t) + t^{2}(-\sin t - \cos t).y′′−y′+t2y=[tcos⁡t−tsin⁡t−t2sin⁡t−t2cos⁡t]−[tcos⁡t−tsin⁡t]+t2[1+cos⁡t+sin⁡t]=t2=e2x≠0.\begin{aligned}
y'' - y' + t^{2}y &= \bigl[t\cos t - t\sin t - t^{2}\sin t - t^{2}\cos t\bigr] \\
&\quad - \bigl[t\cos t - t\sin t\bigr] + t^{2}\bigl[1 + \cos t + \sin t\bigr] = t^{2} = e^{2x} \neq 0.
\end{aligned}Не удовлетворяет.
Обозначим u=x+1+x2u = x + \sqrt{1+x^{2}}. Тогда u′=u1+x2u' = \dfrac{u}{\sqrt{1+x^{2}}}.
y=u10y = u^{10}, y′=10u9u′=10u101+x2=10y1+x2y' = 10u^{9}u' = \dfrac{10u^{10}}{\sqrt{1+x^{2}}} = \dfrac{10y}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Отсюда y′1+x2=10yy'\sqrt{1+x^{2}} = 10y. Дифференцируем это равенство:y′′1+x2+y′x1+x2=10y′.y''\sqrt{1+x^{2}} + y'\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} = 10y'.Умножаем на 1+x2\sqrt{1+x^{2}} и подставляем y′1+x2=10yy'\sqrt{1+x^{2}} = 10y:y′′(1+x2)+xy′=100y⟺(1+x2)y′′+xy′−100y=0.y''(1+x^{2}) + xy' = 100y \quad\Longleftrightarrow\quad (1+x^{2})y'' + xy' - 100y = 0.Удовлетворяет.
Положим t=arcsin⁡xt = \arcsin x, t′=11−x2t' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
y=e10ty = e^{10t}, y′=10e10tt′=10y1−x2y' = 10e^{10t}t' = \dfrac{10y}{\sqrt{1-x^{2}}};
y′1−x2=10yy'\sqrt{1-x^{2}} = 10y. Дифференцируем:y′′1−x2+y′−x1−x2=10y′.y''\sqrt{1-x^{2}} + y'\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}} = 10y'.Умножаем на 1−x2\sqrt{1-x^{2}} и подставляем y′1−x2=10yy'\sqrt{1-x^{2}} = 10y:y′′(1−x2)−xy′=100y⟺(1−x2)y′′−xy′−100y=0.y''(1-x^{2}) - xy' = 100y \quad\Longleftrightarrow\quad (1-x^{2})y'' - xy' - 100y = 0.Удовлетворяет.
Положим t=arccos⁡xt = \arccos x, t′=−11−x2t' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
y=cos⁡10ty = \cos 10t, y′=−10sin⁡10t⋅t′=10sin⁡10t1−x2y' = -10\sin 10t \cdot t' = \dfrac{10\sin 10t}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Пусть z=sin⁡10tz = \sin 10t, тогда y′1−x2=10zy'\sqrt{1-x^{2}} = 10z. Дифференцируем:y′′1−x2+y′−x1−x2=10z′=10⋅10cos⁡10t⋅t′=100y⋅(−11−x2)=−100y1−x2.y''\sqrt{1-x^{2}} + y'\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}} = 10z' = 10\cdot10\cos 10t\cdot t' = 100y\cdot\Bigl(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\Bigr) = -\dfrac{100y}{\sqrt{1-x^{2}}}.Умножаем на 1−x2\sqrt{1-x^{2}}:y′′(1−x2)−xy′=−100y⟺(1−x2)y′′−xy′+100y=0.y''(1-x^{2}) - xy' = -100y \quad\Longleftrightarrow\quad (1-x^{2})y'' - xy' + 100y = 0.Удовлетворяет.
Кудрявцев № 15.11 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика