Раздел III. Производная и дифференциал — § 15. Производные и дифференциалы высших порядков

Кудрявцев — задача 15.10

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 15.10

Найти второй дифференциал функции в указанной точке:

1) y=x33−x2,  x=1y = \dfrac{x^{3}}{3 - x^{2}},\; x = 1;
2) y=3x+2x2−2x+5,  x=0y = \dfrac{3x + 2}{x^{2} - 2x + 5},\; x = 0;
3) y=x(x−5)23,  x=−3y = x\sqrt[3]{(x-5)^{2}},\; x = -3;
4) y=arctg⁡2+x22−x2,  x=0y = \operatorname{arctg}\dfrac{2 + x^{2}}{2 - x^{2}},\; x = 0.
Ответ:1) 152dx2;1)\ \dfrac{15}{2}dx^{2};
2) 56125dx2;2)\ \dfrac{56}{125}dx^{2};
3) −58dx2;3)\ -\dfrac{5}{8}dx^{2};
4) dx24)\ dx^{2}

Решение

В результате дифференцирования имеемy′=3x2(3−x2)−x3(−2x)(3−x2)2=9x2−3x4+2x4(3−x2)2=x2(9−x2)(3−x2)2.\begin{aligned}
y' &= \dfrac{3x^{2}(3-x^{2}) - x^{3}(-2x)}{(3-x^{2})^{2}}
= \dfrac{9x^{2} - 3x^{4} + 2x^{4}}{(3-x^{2})^{2}}
= \dfrac{x^{2}(9 - x^{2})}{(3 - x^{2})^{2}}.
\end{aligned}При x=1x = 1: y′(1)=1⋅(9−1)22=2y'(1) = \dfrac{1\cdot(9-1)}{2^{2}} = 2.
Для второй производной запишем y′=uvy' = \dfrac{u}{v} с u=9x2−x4u = 9x^{2}-x^{4}, v=(3−x2)2v = (3-x^{2})^{2}.
Тогда u′=18x−4x3u' = 18x - 4x^{3}, v′=−4x(3−x2)v' = -4x(3-x^{2}).
При x=1x=1: u=8, v=4, u′=14, v′=−8u=8,\ v=4,\ u'=14,\ v'=-8.y′′(1)=14⋅4−8⋅(−8)16=12016=152.y''(1) = \dfrac{14\cdot4 - 8\cdot(-8)}{16} = \dfrac{120}{16} = \dfrac{15}{2}.Следовательно, d2y∣x=1=152 dx2d^{2}y\big|_{x=1} = \dfrac{15}{2}\,dx^{2}.

После дифференцированияy′=3(x2−2x+5)−(3x+2)(2x−2)(x2−2x+5)2=−3x2−4x+19(x2−2x+5)2.\begin{aligned}
y' &= \dfrac{3(x^{2}-2x+5) - (3x+2)(2x-2)}{(x^{2}-2x+5)^{2}}
= \dfrac{-3x^{2} -4x +19}{(x^{2}-2x+5)^{2}}.
\end{aligned}При x=0x=0: y′(0)=1925y'(0) = \dfrac{19}{25}.
Обозначим u1=−3x2−4x+19u_{1} = -3x^{2} -4x +19, v1=(x2−2x+5)2v_{1} = (x^{2}-2x+5)^{2}.
u1′=−6x−4u_{1}' = -6x -4, v1′=4(x−1)(x2−2x+5)v_{1}' = 4(x-1)(x^{2}-2x+5).
При x=0x=0: u1=19, v1=25,  u1′=−4, v1′=−20u_{1}=19,\ v_{1}=25,\ \ u_{1}'=-4,\ v_{1}'=-20.y′′(0)=(−4)⋅25−19⋅(−20)625=280625=56125.y''(0) = \dfrac{(-4)\cdot25 - 19\cdot(-20)}{625} = \dfrac{280}{625} = \dfrac{56}{125}.Отсюда d2y∣x=0=56125 dx2d^{2}y\big|_{x=0} = \dfrac{56}{125}\,dx^{2}.

Запишем y=x(x−5)2/3y = x (x-5)^{2/3}. Тогдаy′=(x−5)2/3+x⋅23(x−5)−1/3=53(x−3)(x−5)−1/3.y' = (x-5)^{2/3} + x\cdot\dfrac{2}{3}(x-5)^{-1/3}
= \dfrac{5}{3}(x-3)(x-5)^{-1/3}.При x=−3x=-3: (x−5)=−8, (−8)−1/3=−12, (x−3)=−6(x-5) = -8,\ (-8)^{-1/3} = -\dfrac{1}{2},\ (x-3) = -6.
y′(−3)=53⋅(−6)⋅(−12)=5y'(-3) = \dfrac{5}{3}\cdot(-6)\cdot\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr) = 5.
Положим u=x−3u = x-3, v=(x−5)−1/3v = (x-5)^{-1/3}. Тогда u′=1u' = 1, v′=−13(x−5)−4/3v' = -\dfrac{1}{3}(x-5)^{-4/3}.y′′=53(u′v+uv′)=53[(x−5)−1/3+(x−3)(−13)(x−5)−4/3].y'' = \dfrac{5}{3}\bigl(u'v + u v'\bigr)
= \dfrac{5}{3}\Bigl[(x-5)^{-1/3} + (x-3)\Bigl(-\dfrac{1}{3}\Bigr)(x-5)^{-4/3}\Bigr].При x=−3x=-3: (x−5)−1/3=−12, (x−5)−4/3=116(x-5)^{-1/3} = -\dfrac{1}{2},\ (x-5)^{-4/3} = \dfrac{1}{16}.y′′(−3)=53[−12+(−6)(−13)116]=53(−38)=−58.y''(-3) = \dfrac{5}{3}\Bigl[-\dfrac{1}{2} + (-6)\Bigl(-\dfrac{1}{3}\Bigr)\dfrac{1}{16}\Bigr]
= \dfrac{5}{3}\Bigl(-\dfrac{3}{8}\Bigr) = -\dfrac{5}{8}.Следовательно, d2y∣x=−3=−58 dx2d^{2}y\big|_{x=-3} = -\dfrac{5}{8}\,dx^{2}.

Проверка

4. Упростим аргумент. Пусть f(x)=2+x22−x2f(x) = \dfrac{2+x^{2}}{2-x^{2}}. Тогдаf′(x)=8x(2−x2)2.f'(x) = \dfrac{8x}{(2-x^{2})^{2}}.y′=f′(x)1+f(x)2.y' = \dfrac{f'(x)}{1 + f(x)^{2}}.Вычислим 1+f(x)2=2(4+x4)(2−x2)21+f(x)^{2} = \dfrac{2(4+x^{4})}{(2-x^{2})^{2}}. Подставляем:y′=8x(2−x2)22(4+x4)(2−x2)2=4x4+x4.y' = \dfrac{\dfrac{8x}{(2-x^{2})^{2}}}{\dfrac{2(4+x^{4})}{(2-x^{2})^{2}}} = \dfrac{4x}{4+x^{4}}.При x=0x=0: y′(0)=0y'(0) = 0.
Дифференцируем:y′′=4⋅1⋅(4+x4)−x⋅4x3(4+x4)2=4(4−3x4)(4+x4)2.y'' = 4\cdot\dfrac{1\cdot(4+x^{4}) - x\cdot4x^{3}}{(4+x^{4})^{2}}
= \dfrac{4(4 - 3x^{4})}{(4+x^{4})^{2}}.При x=0x=0: y′′(0)=4⋅442=1y''(0) = \dfrac{4\cdot4}{4^{2}} = 1.
Таким образом, d2y∣x=0=dx2d^{2}y\big|_{x=0} = dx^{2}.
Кудрявцев № 15.10 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика