Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.9

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Написать уравнение нормали к гиперболе

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

в точке

(x_0; y_0)

Ответ:

y - y_0 = -\dfrac{a^2 y_0}{b^2 x_0}(x - x_0)

Решение

Дифференцируем неявно:

\dfrac{2x}{a^2} - \dfrac{2y}{b^2}y' = 0\quad\Longrightarrow\quady' = \dfrac{b^2 x}{a^2 y}.

В точке

(x_0; y_0)

угловой коэффициент касательной

k_{\text{кас}} = \dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}

, а нормали

k_{\text{норм}} = -\dfrac{a^2 y_0}{b^2 x_0}

.
Уравнение нормали:

y - y_0 = -\dfrac{a^2 y_0}{b^2 x_0}(x - x_0).