Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.8

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Написать уравнение нормали к эллипсу

3x^2 + 2xy + 2y^2 + 3x - 4y = 0

в точке

(-2; 1)

Ответ:

y = \dfrac{4}{7}x + \dfrac{15}{7}

Решение

Проверим, что точка лежит на кривой:

3\cdot4 + 2\cdot(-2)\cdot1 + 2\cdot1 + 3\cdot(-2) - 4\cdot1 = 12 - 4 + 2 - 6 - 4 = 0.

Дифференцируем неявно:

6x + 2y + 2xy' + 4yy' + 3 - 4y' = 0.

Группируем члены с

y'

y'(2x + 4y - 4) = -6x - 2y - 3.

В точке

(-2; 1)

2(-2) + 4\cdot1 - 4 = -4 + 4 - 4 = -4,\qquad-6(-2) - 2\cdot1 - 3 = 12 - 2 - 3 = 7.

Отсюда

y' = \dfrac{7}{-4} = -\dfrac{7}{4}

.
Следовательно, угловой коэффициент нормали

k_{\text{норм}} = \dfrac{4}{7}

.
Уравнение нормали:

y - 1 = \dfrac{4}{7}(x + 2)\quad\Longrightarrow\quady = \dfrac{4}{7}x + \dfrac{8}{7} + 1 = \dfrac{4}{7}x + \dfrac{15}{7}.