Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.7

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.7

Написать уравнение нормали к графику функции y=f(x)y = f(x) в указанной точке:

1) y=cos⁡2x−2sin⁡xy = \cos 2x - 2\sin x, x0=πx_0 = \pi;
2) y=arcctg⁡1xy = \operatorname{arcctg} \dfrac{1}{x}, x0=1x_0 = 1;
3) y=x3(2−x)2y = \dfrac{x^3}{(2 - x)^2}, x0=6x_0 = 6;

4) y=xx+13y = \dfrac{x}{\sqrt[3]{x + 1}}, x0=−3x_0 = -3;
5) y2=2pxy^2 = 2px, y≥0y \ge 0, x=x0x = x_0;
6) x=e2tcos⁡2tx = e^{2t}\cos^2 t, y=e2tsin⁡2ty = e^{2t}\sin^2 t, ∣t∣<π4|t| < \dfrac{\pi}{4}, t0=π6t_0 = \dfrac{\pi}{6}.
Ответ:1) y=−12x+π2+1;1)\ y = -\dfrac12 x + \dfrac{\pi}{2} + 1;
2) y=−2x+2+π4;2)\ y = -2x + 2 + \dfrac{\pi}{4};
3) x=6;3)\ x = 6;
4) y=24/3x+3⋅24/3+323;4)\ y = 2^{4/3}x + 3 \cdot 2^{4/3} + \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}};
5) y=−2x0p x+x02x0p+2px0;5)\ y = -\sqrt{\dfrac{2x_0}{p}}\,x + x_0\sqrt{\dfrac{2x_0}{p}} + \sqrt{2px_0};
6) y=−33+23x+94(3+23)eπ/3+14eπ/36)\ y = -\dfrac{3}{3 + 2\sqrt{3}}x + \dfrac{9}{4(3 + 2\sqrt{3})}e^{\pi/3} + \dfrac{1}{4}e^{\pi/3}

Решение

Находим значение функции в точке x0=πx_0 = \pi:y0=cos⁡2π−2sin⁡π=1−0=1.y_0 = \cos 2\pi - 2\sin\pi = 1 - 0 = 1.Производная: y′=−2sin⁡2x−2cos⁡xy' = -2\sin 2x - 2\cos x. Тогдаy′(π)=−2sin⁡2π−2cos⁡π=0−2(−1)=2.y'(\pi) = -2\sin 2\pi - 2\cos\pi = 0 - 2(-1) = 2.Угловой коэффициент касательной kкас=2k_{\text{кас}} = 2, нормали kнорм=−12k_{\text{норм}} = -\dfrac{1}{2}.
Уравнение нормали: y−1=−12(x−π)y - 1 = -\dfrac12(x - \pi), откудаy=−12x+π2+1.y = -\dfrac12 x + \dfrac{\pi}{2} + 1.В точке x0=1x_0 = 1 получаем y0=arcctg⁡1=π4y_0 = \operatorname{arcctg} 1 = \dfrac{\pi}{4}.
Производная:y′=−11+(1x)2⋅(−1x2)=1x2+1.y' = -\dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{1}{x}\right)^2} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{1}{x^2 + 1}.y′(1)=12y'(1) = \dfrac{1}{2}. Тогда kкас=12k_{\text{кас}} = \dfrac12, kнорм=−2k_{\text{норм}} = -2.
Уравнение нормали: y−π4=−2(x−1)y - \dfrac{\pi}{4} = -2(x - 1), то естьy=−2x+2+π4.y = -2x + 2 + \dfrac{\pi}{4}.При x0=6x_0 = 6:y0=216(−4)2=21616=272.y_0 = \dfrac{216}{(-4)^2} = \dfrac{216}{16} = \dfrac{27}{2}.Производная:y′=3x2(2−x)2−x3⋅2(2−x)(−1)(2−x)4=3x2(2−x)+2x3(2−x)3=x2(6−x)(2−x)3.y' = \dfrac{3x^2(2-x)^2 - x^3 \cdot 2(2-x)(-1)}{(2-x)^4}
= \dfrac{3x^2(2-x) + 2x^3}{(2-x)^3}
= \dfrac{x^2(6 - x)}{(2-x)^3}.При x=6x = 6: y′(6)=36⋅0(−4)3=0y'(6) = \dfrac{36 \cdot 0}{(-4)^3} = 0.
Касательная горизонтальна (kкас=0k_{\text{кас}} = 0), нормаль вертикальна. Уравнение: x=6x = 6.

В точке x0=−3x_0 = -3:y0=−3−23=−3−23=323.y_0 = \dfrac{-3}{\sqrt[3]{-2}} = \dfrac{-3}{-\sqrt[3]{2}} = \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}.Записываем функцию как y=x(x+1)−1/3y = x (x+1)^{-1/3} и дифференцируем:y′=(x+1)−1/3+x⋅(−13)(x+1)−4/3=1(x+1)1/3−x3(x+1)4/3=3(x+1)−x3(x+1)4/3=2x+33(x+1)4/3.y' = (x+1)^{-1/3} + x \cdot \left(-\dfrac13\right)(x+1)^{-4/3}
= \dfrac{1}{(x+1)^{1/3}} - \dfrac{x}{3(x+1)^{4/3}}
= \dfrac{3(x+1) - x}{3(x+1)^{4/3}}
= \dfrac{2x + 3}{3(x+1)^{4/3}}.При x=−3x = -3:y′(−3)=−6+33(−2)4/3=−33⋅24/3=−124/3.y'(-3) = \dfrac{-6 + 3}{3(-2)^{4/3}} = \dfrac{-3}{3 \cdot 2^{4/3}} = -\dfrac{1}{2^{4/3}}.Угловой коэффициент нормали kнорм=−1y′(−3)=24/3k_{\text{норм}} = -\dfrac{1}{y'(-3)} = 2^{4/3}.
Уравнение нормали:y−323=24/3(x+3).y - \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}} = 2^{4/3}(x + 3).Преобразуем:y=24/3x+3⋅24/3+323.y = 2^{4/3}x + 3 \cdot 2^{4/3} + \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}.
Из условия y≥0y \ge 0 и y2=2pxy^2 = 2px получаем y=2pxy = \sqrt{2px}. В точке x0x_0:
y0=2px0y_0 = \sqrt{2px_0}.
Дифференцируем неявно: 2yy′=2p  ⇒  y′=py2y y' = 2p \;\Rightarrow\; y' = \dfrac{p}{y}.
Тогда y′(x0)=p2px0=p2x0y'(x_0) = \dfrac{p}{\sqrt{2px_0}} = \sqrt{\dfrac{p}{2x_0}}.
Угловой коэффициент нормали kнорм=−1y′(x0)=−2x0pk_{\text{норм}} = -\dfrac{1}{y'(x_0)} = -\sqrt{\dfrac{2x_0}{p}}.
Уравнение нормали:y−2px0=−2x0p(x−x0)⟹y=−2x0p x+x02x0p+2px0.y - \sqrt{2px_0} = -\sqrt{\dfrac{2x_0}{p}}(x - x_0)
\quad\Longrightarrow\quad
y = -\sqrt{\dfrac{2x_0}{p}}\,x + x_0\sqrt{\dfrac{2x_0}{p}} + \sqrt{2px_0}.
Параметрически: при t0=π6t_0 = \dfrac{\pi}{6} имеем cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\frac{\pi}{6} = \frac12.x0=eπ/3⋅34,y0=eπ/3⋅14.x_0 = e^{\pi/3} \cdot \frac{3}{4},\qquad y_0 = e^{\pi/3} \cdot \frac{1}{4}.Производные по tt:x˙=2e2tcos⁡2t+e2t⋅2cos⁡t(−sin⁡t)=2e2tcos⁡t(cos⁡t−sin⁡t),\dot x = 2e^{2t}\cos^2 t + e^{2t}\cdot 2\cos t(-\sin t) = 2e^{2t}\cos t(\cos t - \sin t),y˙=2e2tsin⁡2t+e2t⋅2sin⁡tcos⁡t=2e2tsin⁡t(sin⁡t+cos⁡t).\dot y = 2e^{2t}\sin^2 t + e^{2t}\cdot 2\sin t \cos t = 2e^{2t}\sin t(\sin t + \cos t).При t0t_0:x˙=2eπ/3⋅32(32−12)=3eπ/3⋅3−12=eπ/33−32,\dot x = 2e^{\pi/3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac12\right)
= \sqrt{3} e^{\pi/3} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}
= e^{\pi/3} \frac{3 - \sqrt{3}}{2},y˙=2eπ/3⋅12(12+32)=eπ/3⋅1+32.\dot y = 2e^{\pi/3} \cdot \frac12\left(\frac12 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
= e^{\pi/3} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2}.Тогдаdydx=y˙x˙=1+33−3=(1+3)(3+3)9−3=6+436=1+233.\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dot y}{\dot x}
= \dfrac{1 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
= \dfrac{(1+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{9-3}
= \dfrac{6 + 4\sqrt{3}}{6}
= 1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.Угловой коэффициент нормали:kнорм=−11+233=−33+23.k_{\text{норм}} = -\dfrac{1}{1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}} = -\dfrac{3}{3 + 2\sqrt{3}}.Уравнение нормали:y−14eπ/3=−33+23 ⁣(x−34eπ/3).y - \dfrac{1}{4}e^{\pi/3} = -\dfrac{3}{3 + 2\sqrt{3}}\!\left(x - \dfrac{3}{4}e^{\pi/3}\right).Приводим к виду y=kx+by = kx + b:y=−33+23x+94(3+23)eπ/3+14eπ/3.y = -\dfrac{3}{3 + 2\sqrt{3}}x + \dfrac{9}{4(3 + 2\sqrt{3})}e^{\pi/3} + \dfrac{1}{4}e^{\pi/3}.
Кудрявцев № 14.7 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика