Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.6

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти угол между касательными к кривой

2x^2 - 4xy + y^2 - 2x + 6y - 3 = 0

, проходящими через точку

(3; 4)

Ответ:

\dfrac{\pi}{2} - \arctg\dfrac{7}{2}

Решение

Точка

(3;4)

не лежит на кривой (подстановка даёт

1 \neq 0

). Касательные будем искать в виде невертикальных прямых

y - 4 = k(x - 3)

и вертикальной

x = 3

Для невертикальных касательных подставим

y = kx + (4 - 3k)

в уравнение кривой. Получаем квадратное уравнение относительно

x

(k^2 - 4k + 2)x^2 + (-6k^2 + 26k - 18)x + (9k^2 - 42k + 37) = 0.

Условие касания — нулевой дискриминант:

D = (-6k^2 + 26k - 18)^2 - 4(k^2 - 4k + 2)(9k^2 - 42k + 37) = -8k + 28 = 0,

откуда

k = \dfrac{7}{2}

. Соответствующая касательная:

y = \dfrac{7}{2}x - \dfrac{13}{2}

Для вертикальной прямой

x = 3

подстановка в уравнение даёт

y^2 - 6y + 9 = (y-3)^2 = 0

— единственное решение, значит,

x = 3

также является касательной.

Проверка

Угол

\theta

между вертикальной прямой и прямой с угловым коэффициентом

k = \dfrac{7}{2}

находим через тангенс:

\tg\theta = \left|\dfrac{1}{k}\right| = \dfrac{2}{7}

. Следовательно,

\theta = \arctg\dfrac{2}{7} = \dfrac{\pi}{2} - \arctg\dfrac{7}{2}