Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.5

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти точки пересечения с осью абсцисс касательных к эллипсам

\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

в точках с абсциссой

x_0

Ответ:

\left(\dfrac{100}{x_0};\,0\right)\ \text{при}\ x_0 \neq 0;\ \text{при}\ x_0 = 0\ \text{пересечений нет}

Решение

Уравнение касательной:

\dfrac{x_0 x}{100} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1

, где

y_0 = \pm b\sqrt{1 - \dfrac{x_0^2}{100}}

.
Полагая

y = 0

, находим абсциссу точки пересечения с осью

Ox

\dfrac{x_0 X}{100} = 1 \;\Rightarrow\; X = \dfrac{100}{x_0}

(при

x_0 \neq 0

).
Если

x_0 = 0

, касательные горизонтальны (уравнения

y = \pm b

) и ось абсцисс не пересекают.