Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.45

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Масса радиоактивного вещества

m = m_0 2^{(t-t_0)/T}

. Доказать, что скорость распада пропорциональна количеству вещества, и найти коэффициент пропорциональности.

Доказано:

\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}

Доказательство

Запишем

m = m_0 \exp\!\bigl(\dfrac{\ln 2}{T}(t-t_0)\bigr)

.
Дифференцируем:

\dfrac{dm}{dt} = m_0 \cdot \dfrac{\ln 2}{T} 2^{(t-t_0)/T} = \dfrac{\ln 2}{T} \cdot m

.
Таким образом,

\dfrac{dm}{dt} \propto m

с коэффициентом

\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}

Что и требовалось доказать