Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.43

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Расстояние спутника от центра Земли:

r = a\left(1 - \varepsilon \cos\dfrac{2\pi(t-t_0)}{P} - \dfrac{\varepsilon^2}{2}\Bigl(\cos\dfrac{4\pi(t-t_0)}{P} - 1\Bigr)\right).

Найти радиальную скорость

\dfrac{dr}{dt}

Ответ:

\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{2\pi a\varepsilon}{P}\left( \sin\dfrac{2\pi(t-t_0)}{P} + \varepsilon \sin\dfrac{4\pi(t-t_0)}{P} \right)

Решение

Дифференцируем:

\dfrac{dr}{dt} = a\left( -\varepsilon \left(-\sin\dfrac{2\pi(t-t_0)}{P}\right)\dfrac{2\pi}{P} - \dfrac{\varepsilon^2}{2}\left(-\sin\dfrac{4\pi(t-t_0)}{P}\right)\dfrac{4\pi}{P} \right)=

=\dfrac{2\pi a\varepsilon}{P}\sin\dfrac{2\pi(t-t_0)}{P} + \dfrac{2\pi a\varepsilon^2}{P}\sin\dfrac{4\pi(t-t_0)}{P}.