Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.40

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.40

Паром подтягивается к берегу канатом, наматываемым на ворот со скоростью 3 м/мин. Определить скорость движения парома в момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4 м.

Ответ:

\dfrac{3\sqrt{641}}{25}\ \text{м/мин}

Решение

x

— расстояние от парома до берега по горизонтали,

l = \sqrt{x^2 + 16}

— длина каната.
Дано

\dfrac{dl}{dt} = -3

м/мин (длина уменьшается).
Дифференцируем

l^2 = x^2 + 16

2l\dfrac{dl}{dt} = 2x\dfrac{dx}{dt} \;\Rightarrow\; \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{l}{x}\dfrac{dl}{dt}

.
При

x = 25

м:

l = \sqrt{25^2 + 16} = \sqrt{641}

.
Тогда

v_x = \dfrac{\sqrt{641}}{25} \cdot (-3) = -\dfrac{3\sqrt{641}}{25}

м/мин.
Скорость движения парома равна

\dfrac{3\sqrt{641}}{25}

м/мин.