Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.4

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Написать уравнение касательной к эллипсу

\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

в точке

(x_0; y_0)

Ответ:

\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1

Решение

Неявно дифференцируем:

\dfrac{2x}{a^2} + \dfrac{2y}{b^2}y' = 0

, откуда

y' = -\dfrac{b^2 x}{a^2 y}

.
В точке

(x_0; y_0)

угловой коэффициент

k = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}

.
Уравнение касательной:

y - y_0 = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}(x - x_0)

.
Умножая на

a^2 y_0

и используя

\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1

, получаем компактную форму

\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1