Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.38

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.38

Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения.

Ответ:

4\pi\ \text{рад/с}

Решение

Закон изменения угла:

\varphi(t) = k t^2

.
Один оборот:

\varphi(8) = 2\pi \;\Rightarrow\; k \cdot 64 = 2\pi \;\Rightarrow\; k = \dfrac{\pi}{32}

.
Тогда

\varphi(t) = \dfrac{\pi}{32} t^2

.
Угловая скорость

\omega(t) = \dfrac{d\varphi}{dt} = \dfrac{\pi}{16} t

.
При

t = 64

с:

\omega = \dfrac{\pi}{16} \cdot 64 = 4\pi

рад/с.