Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.37

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с. Какова скорость изменения объёма шара в момент, когда его радиус становится равным 50 см?

Ответ:

50000\pi\ \text{см}^3/\text{с}

Решение

Объём шара

V = \dfrac{4}{3}\pi r^3

. Скорость изменения объёма:

\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \dfrac{dr}{dt}.

По условию

\dfrac{dr}{dt} = 5

см/с,

r = 50

см.

\dfrac{dV}{dt} = 4\pi \cdot 50^2 \cdot 5 = 4\pi \cdot 2500 \cdot 5 = 50000\pi\ \text{см}^3/\text{с}.