Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.36

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Точка движется по параболе

y = 8x - x^2

так, что её абсцисса изменяется по закону

x = \sqrt{t}

(

x

в метрах,

t

в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения?

Ответ:

\dfrac{1}{3}\ \text{м/с}

Решение

Скорость изменения ординаты — производная

\dfrac{dy}{dt}

. По цепному правилу:

\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}.

Находим

\dfrac{dy}{dx} = 8 - 2x

.
Находим

\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}

.
При

t = 9

с:

x = \sqrt{9} = 3

м.
Тогда

\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=3} = 8 - 6 = 2

\dfrac{dx}{dt}\Big|_{t=9} = \dfrac{1}{2\cdot 3} = \dfrac{1}{6}

^{-1}

.
Следовательно,

\dfrac{dy}{dt} = 2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}

м/с.