Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.34

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.34

Определить среднюю скорость изменения функции y=sin⁡(1/x)y = \sin(1/x) на отрезке [2π;6π]\left[\dfrac{2}{\pi}; \dfrac{6}{\pi}\right].
Ответ:−π8-\dfrac{\pi}{8}

Решение

Средняя скорость изменения функции на отрезке [a,b][a,b] равна f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}.
Вычисляем значения на концах:a=2π,f(a)=sin⁡π2=1;b=6π,f(b)=sin⁡π6=12.a = \dfrac{2}{\pi},\quad f(a) = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1;\qquad
b = \dfrac{6}{\pi},\quad f(b) = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac12.Длина отрезка: b−a=6π−2π=4πb - a = \dfrac{6}{\pi} - \dfrac{2}{\pi} = \dfrac{4}{\pi}.
Средняя скорость:12−14π=−124π=−12⋅π4=−π8.\dfrac{\dfrac12 - 1}{\dfrac{4}{\pi}} = \dfrac{-\dfrac12}{\dfrac{4}{\pi}} = -\dfrac12 \cdot \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{8}.
Кудрявцев № 14.34 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика