Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.32

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.32

Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде r=a(1+cos⁡φ)r = a(1 + \cos\varphi) в точке с полярным углом φ=π/6\varphi = \pi/6.
Ответ:в декартовых координатах: y=x−a4(3+1); в полярных координатах: r=a(3+1)4(cos⁡φ−sin⁡φ)\text{в декартовых координатах: } y = x - \dfrac{a}{4}(\sqrt{3} + 1);\ \text{в полярных координатах: } r = \dfrac{a(\sqrt{3} + 1)}{4(\cos\varphi - \sin\varphi)}

Решение

Координаты точки касания.
φ0=π6\varphi_0 = \dfrac{\pi}{6},r0=a(1+cos⁡π6)=a(1+32)=a(2+3)2.r_0 = a\Bigl(1 + \cos\dfrac{\pi}{6}\Bigr) = a\Bigl(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{2}.Декартовы координаты:x0=r0cos⁡φ0=a(2+3)2⋅32=a(23+3)4,y0=r0sin⁡φ0=a(2+3)2⋅12=a(2+3)4.x_0 = r_0\cos\varphi_0 = \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a(2\sqrt{3}+3)}{4},
\qquad
y_0 = r_0\sin\varphi_0 = \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{2}\cdot\dfrac12 = \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{4}.Угловой коэффициент касательной.
Формула для полярной кривой r=f(φ)r = f(\varphi):kкас=r′sin⁡φ+rcos⁡φr′cos⁡φ−rsin⁡φ,k_{\text{кас}} = \dfrac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi},где r′=−asin⁡φr' = -a\sin\varphi.
При φ0=π/6\varphi_0 = \pi/6: sin⁡π6=12,  cos⁡π6=32,  r′=−a2,  r=a(2+3)2\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac12,\; \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; r' = -\dfrac{a}{2},\; r = \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{2}.
Числитель:(−a2)⋅12+a(2+3)2⋅32=−a4+a3(2+3)4=a4(−1+23+3)=a2(3+1).\Bigl(-\dfrac{a}{2}\Bigr)\cdot\dfrac12 + \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}
= -\dfrac{a}{4} + \dfrac{a\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{4}
= \dfrac{a}{4}\bigl(-1 + 2\sqrt{3} + 3\bigr)
= \dfrac{a}{2}(\sqrt{3}+1).Знаменатель:(−a2)⋅32−a(2+3)2⋅12=−a34−a(2+3)4=−a4(23+2)=−a2(3+1).\Bigl(-\dfrac{a}{2}\Bigr)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{2}\cdot\dfrac12
= -\dfrac{a\sqrt{3}}{4} - \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{4}
= -\dfrac{a}{4}\bigl(2\sqrt{3}+2\bigr)
= -\dfrac{a}{2}(\sqrt{3}+1).Следовательно,kкас=a2(3+1)−a2(3+1)=−1.k_{\text{кас}} = \dfrac{\dfrac{a}{2}(\sqrt{3}+1)}{-\dfrac{a}{2}(\sqrt{3}+1)} = -1.Угловой коэффициент нормали kнорм=−1kкас=1k_{\text{норм}} = -\dfrac{1}{k_{\text{кас}}} = 1.

Декартово уравнение нормали.y−y0=1⋅(x−x0)⟹y=x−x0+y0.y - y_0 = 1\cdot(x - x_0) \quad\Longrightarrow\quad y = x - x_0 + y_0.Вычисляем x0−y0x_0 - y_0:x0−y0=a(23+3)4−a(2+3)4=a4(23+3−2−3)=a4(3+1).x_0 - y_0 = \dfrac{a(2\sqrt{3}+3)}{4} - \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{4}
= \dfrac{a}{4}\bigl(2\sqrt{3}+3 - 2 - \sqrt{3}\bigr)
= \dfrac{a}{4}(\sqrt{3}+1).Таким образом,y=x−a4(3+1).y = x - \dfrac{a}{4}(\sqrt{3}+1).

Проверка

4. Полярное уравнение нормали.
Уравнение прямой, проходящей через точку (r0,φ0)(r_0,\varphi_0) и наклонённой под углом β=π4\beta = \dfrac{\pi}{4} (так как kнорм=1k_{\text{норм}} = 1):rsin⁡(β−φ)=r0sin⁡(β−φ0).r\sin(\beta - \varphi) = r_0\sin(\beta - \varphi_0).Подставляем β=π4\beta = \dfrac{\pi}{4}, φ0=π6\varphi_0 = \dfrac{\pi}{6}:rsin⁡(π4−φ)=r0sin⁡(π4−π6)=r0sin⁡π12.r\sin\Bigl(\dfrac{\pi}{4} - \varphi\Bigr) = r_0\sin\Bigl(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\Bigr) = r_0\sin\dfrac{\pi}{12}.Вычисляем sin⁡π12\sin\dfrac{\pi}{12}:sin⁡π12=sin⁡(π3−π4)=6−24.\sin\dfrac{\pi}{12} = \sin\Bigl(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\Bigr) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.Тогда правая часть:r0sin⁡π12=a(2+3)2⋅6−24=a(2+3)(6−2)8.r_0\sin\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{a(2+\sqrt{3})}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
= \dfrac{a(2+\sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}.Произведение (2+3)(6−2)(2+\sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{2}):(2+3)(6−2)=6+2.(2+\sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \sqrt{6} + \sqrt{2}.Следовательно,rsin⁡(π4−φ)=a(6+2)8.r\sin\Bigl(\dfrac{\pi}{4} - \varphi\Bigr) = \dfrac{a(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}.Преобразуем sin⁡ ⁣(π4−φ)=22(cos⁡φ−sin⁡φ)\sin\!\bigl(\dfrac{\pi}{4} - \varphi\bigr) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos\varphi - \sin\varphi). Тогдаr⋅22(cos⁡φ−sin⁡φ)=a(6+2)8,r \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos\varphi - \sin\varphi) = \dfrac{a(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8},r=a(6+2)42(cos⁡φ−sin⁡φ)=a4⋅3+1cos⁡φ−sin⁡φ.r = \dfrac{a(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4\sqrt{2}(\cos\varphi - \sin\varphi)}
= \dfrac{a}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\cos\varphi - \sin\varphi}.
Кудрявцев № 14.32 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика