Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.31

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой

r = ae^{b\varphi}

Ответ:

d = \dfrac{r}{\sqrt{1+b^2}}

Решение

Расстояние

d

от полюса до касательной, проведённой в точке

(r,\varphi)

, даётся формулой

d = \dfrac{r^2}{\sqrt{r^2 + (r')^2}}.

Для логарифмической спирали

r = ae^{b\varphi}

имеем

r' = abe^{b\varphi}

.
Вычисляем знаменатель:

\sqrt{r^2 + (r')^2} = \sqrt{a^2e^{2b\varphi} + a^2b^2e^{2b\varphi}} = ae^{b\varphi}\sqrt{1+b^2} = r\sqrt{1+b^2}.

Тогда

d = \dfrac{r^2}{r\sqrt{1+b^2}} = \dfrac{r}{\sqrt{1+b^2}}.