Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.30

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 14.30

Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда r=aφr = a\varphi и полярным радиусом точки касания при φ→+∞\varphi \to +\infty стремится к π/2\pi/2.

Доказательство

Угол ω\omega между касательной и полярным радиусом вычисляется по формуле tg⁡ω=r∣r′∣\tg\omega = \dfrac{r}{|r'|} (см. задачу 27).
Для спирали Архимеда r=aφr = a\varphi находим производную: r′=ar' = a. Тогдаtg⁡ω=aφ∣a∣=φ(при a>0).\tg\omega = \dfrac{a\varphi}{|a|} = \varphi \quad (\text{при } a>0).Следовательно, ω=arctg⁡φ\omega = \arctg \varphi.
При φ→+∞\varphi \to +\infty arctg⁡φ→π2\arctg \varphi \to \dfrac{\pi}{2}, откуда ω→π2\omega \to \dfrac{\pi}{2}.

Что и требовалось доказать

Кудрявцев № 14.30 — решение | Высшая математика — Профиматика