Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.3

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.3

Написать уравнение касательной к графику функции y=f(x)y = f(x) в указанной точке:
1) y=5−x2y = \sqrt{5 - x^2}, x0=1x_0 = 1;
2) y=arctg⁡2xy = \arctg 2x, x0=0x_0 = 0;
3) y=ln⁡x2−2x+1x2+x+1y = \ln \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x + 1}, x0=0x_0 = 0;

4) y=4ctg⁡x−cos⁡xsin⁡2xy = 4\ctg x - \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}, x0=π2x_0 = \dfrac{\pi}{2};
5) y=x−13y = \sqrt[3]{x - 1}, x0=1x_0 = 1;
6) y=x3+2x2(x−1)2y = \dfrac{x^3 + 2x^2}{(x-1)^2}, x0=−2x_0 = -2;

7) y=∣x−1∣x+23y = |x - 1| \sqrt[3]{x + 2}, x0=6x_0 = 6;
8) x2+y2−2x+6y=0x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0, y>−3y > -3, x0=0x_0 = 0;
9) x=tetx = t e^t, y=te−ty = t e^{-t}, t>−1t > -1, t=t0t = t_0;
10) x=a(t−sin⁡t)x = a(t - \sin t), y=a(1−cos⁡t)y = a(1 - \cos t), t=t0≠2πkt = t_0 \neq 2\pi k.
Ответ:1) y=−12x+52;1)\ y = -\dfrac12 x + \dfrac52;
2) y=2x;2)\ y = 2x;
3) y=−3x;3)\ y = -3x;
4) y=−3x+3π2;4)\ y = -3x + \dfrac{3\pi}{2};
5) x=1;5)\ x = 1;
6) y=49x+89;6)\ y = \dfrac{4}{9}x + \dfrac{8}{9};
7) y=2912x−92;7)\ y = \dfrac{29}{12}x - \dfrac{9}{2};
8) y=13x;8)\ y = \dfrac13 x;
9) y=e−2t01−t01+t0 x+t0e−t0−e−2t01−t01+t0 t0et0;9)\ y = e^{-2t_0}\dfrac{1-t_0}{1+t_0}\,x + t_0 e^{-t_0} - e^{-2t_0}\dfrac{1-t_0}{1+t_0}\,t_0 e^{t_0};
10) y=xctg⁡t02+2a−at0ctg⁡t0210)\ y = x\ctg\dfrac{t_0}{2} + 2a - a t_0\ctg\dfrac{t_0}{2}

Решение

Находим y0=5−1=2y_0 = \sqrt{5 - 1} = 2. Производная y′=−x5−x2y' = \dfrac{-x}{\sqrt{5 - x^2}}, y′(1)=−12y'(1) = -\dfrac12. Уравнение касательной: y−2=−12(x−1)y - 2 = -\dfrac12(x - 1), откуда y=−12x+52y = -\dfrac12 x + \dfrac52.
Здесь y0=0y_0 = 0. Производная y′=21+4x2y' = \dfrac{2}{1 + 4x^2}, y′(0)=2y'(0) = 2. Касательная: y=2xy = 2x.
Упростим: y=2ln⁡∣x−1∣−ln⁡(x2+x+1)y = 2\ln|x-1| - \ln(x^2 + x + 1). y0=0y_0 = 0. Производная y′=2x−1−2x+1x2+x+1y' = \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{2x+1}{x^2 + x + 1}, y′(0)=−3y'(0) = -3. Уравнение: y=−3xy = -3x.

При x0=π2x_0 = \dfrac{\pi}{2} имеем y0=0y_0 = 0. Производная y′=−4sin⁡2x+sin⁡3x+2sin⁡xcos⁡2xsin⁡4xy' = -\dfrac{4}{\sin^2 x} + \dfrac{\sin^3 x + 2\sin x \cos^2 x}{\sin^4 x}. При x=π2x = \frac{\pi}{2}: sin⁡x=1,  cos⁡x=0\sin x = 1,\; \cos x = 0, y′=−4+1=−3y' = -4 + 1 = -3. Касательная: y=−3x+3π2y = -3x + \dfrac{3\pi}{2}.
y0=0y_0 = 0. Производная y′=13(x−1)−2/3→∞y' = \dfrac13 (x-1)^{-2/3} \to \infty при x→1x \to 1. Касательная вертикальна: x=1x = 1.

В точке x0=−2x_0 = -2: y0=0y_0 = 0. Разложение: y=x+4+7x−4(x−1)2y = x + 4 + \dfrac{7x-4}{(x-1)^2}. Производная y′=1+7(x−1)−2(7x−4)(x−1)3y' = 1 + \dfrac{7(x-1) - 2(7x-4)}{(x-1)^3}. При x=−2x = -2: x−1=−3x-1 = -3, 7x−4=−187x-4 = -18. Числитель дроби: 7(−3)−2(−18)=157(-3) - 2(-18) = 15, знаменатель: (−3)3=−27(-3)^3 = -27. Дробь: −59-\dfrac{5}{9}. y′(−2)=1−59=49y'(-2) = 1 - \dfrac{5}{9} = \dfrac{4}{9}. Уравнение: y=49(x+2)=49x+89y = \dfrac{4}{9}(x+2) = \dfrac{4}{9}x + \dfrac{8}{9}.
В окрестности x=6x = 6 модуль раскрывается как x−1x-1. y=(x−1)(x+2)1/3y = (x-1)(x+2)^{1/3}. y0=5⋅81/3=10y_0 = 5 \cdot 8^{1/3} = 10. Производная y′=(x+2)1/3+x−13(x+2)−2/3y' = (x+2)^{1/3} + \dfrac{x-1}{3}(x+2)^{-2/3}. При x=6x = 6: (8)1/3=2,  (8)−2/3=14(8)^{1/3} = 2,\;(8)^{-2/3} = \dfrac14. y′(6)=2+53⋅14=2+512=2912y'(6) = 2 + \dfrac{5}{3}\cdot\dfrac14 = 2 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{29}{12}. Уравнение: y=2912x−92y = \dfrac{29}{12}x - \dfrac{9}{2}.
Подставляя x=0x = 0 в уравнение, получаем y2+6y=0y^2 + 6y = 0, откуда y=0y = 0 (условие y>−3y > -3 выполнено). Точка (0;0)(0;0). Неявное дифференцирование: 2x+2yy′−2+6y′=02x + 2yy' - 2 + 6y' = 0, y′=1−xy+3y' = \dfrac{1-x}{y+3}. В (0;0)(0;0): y′=13y' = \dfrac13. Уравнение: y=13xy = \dfrac13 x.
Параметрически: x0=t0et0x_0 = t_0 e^{t_0}, y0=t0e−t0y_0 = t_0 e^{-t_0}. Производные: x˙=et(1+t)\dot x = e^t(1+t), y˙=e−t(1−t)\dot y = e^{-t}(1-t). Тогда dydx=e−t0(1−t0)et0(1+t0)=e−2t01−t01+t0\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{-t_0}(1-t_0)}{e^{t_0}(1+t_0)} = e^{-2t_0}\dfrac{1-t_0}{1+t_0}. Уравнение касательной: y−t0e−t0=e−2t01−t01+t0(x−t0et0)y - t_0 e^{-t_0} = e^{-2t_0}\dfrac{1-t_0}{1+t_0}(x - t_0 e^{t_0}).
Для циклоиды x0=a(t0−sin⁡t0)x_0 = a(t_0 - \sin t_0), y0=a(1−cos⁡t0)y_0 = a(1 - \cos t_0). Производные: x˙=a(1−cos⁡t0)\dot x = a(1 - \cos t_0), y˙=asin⁡t0\dot y = a\sin t_0. Отсюда dydx=sin⁡t01−cos⁡t0=ctg⁡t02\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin t_0}{1 - \cos t_0} = \ctg\dfrac{t_0}{2}. Уравнение: y−a(1−−cos⁡t0)=ctg⁡t02(x−a(t0−sin⁡t0))y - a(1 - -\cos t_0) = \ctg\dfrac{t_0}{2}\bigl(x - a(t_0 - \sin t_0)\bigr). После упрощения с учётом 1−cos⁡t0=2sin⁡2t021 - \cos t_0 = 2\sin^2\dfrac{t_0}{2} и sin⁡t0ctg⁡t02=2cos⁡2t02\sin t_0 \ctg\dfrac{t_0}{2} = 2\cos^2\dfrac{t_0}{2} получаем y=xctg⁡t02+2a−at0ctg⁡t02y = x\ctg\dfrac{t_0}{2} + 2a - a t_0\ctg\dfrac{t_0}{2}.
Кудрявцев № 14.3 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика