Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.29

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.29

Под каким углом пересекаются кривые r=φr = \varphi и r=1/φr = 1/\varphi в точке (1;1)(1; 1)?
Ответ:π2\dfrac{\pi}{2}

Решение

В полярных координатах (1;1)(1; 1) означает φ=1,  r=1\varphi = 1,\; r = 1. Обе кривые проходят через эту точку.
Найдём угол ω\omega между касательной и полярным радиусом для каждой кривой.

Для r=φr = \varphi: r′=1r' = 1, tg⁡ω1=1∣1∣=1  ⇒  ω1=π4\tg\omega_1 = \dfrac{1}{|1|} = 1 \;\Rightarrow\; \omega_1 = \dfrac{\pi}{4}.
Для r=1/φr = 1/\varphi: r′=−1/φ2r' = -1/\varphi^2, при φ=1\varphi = 1 r′=−1r' = -1, tg⁡ω2=1∣−1∣=1  ⇒  ω2=π4\tg\omega_2 = \dfrac{1}{|-1|} = 1 \;\Rightarrow\; \omega_2 = \dfrac{\pi}{4}.

Проверка

Углы ω1\omega_1 и ω2\omega_2 равны по величине, но расположены по разные стороны от полярного радиуса: у первой спирали r′>0r' > 0 — касательная отклоняется в сторону увеличения φ\varphi, у второй r′<0r' < 0 — в сторону уменьшения φ\varphi. Следовательно, касательные перпендикулярны, и угол пересечения кривых θ=ω1+ω2=π2\theta = \omega_1 + \omega_2 = \dfrac{\pi}{2}.
Кудрявцев № 14.29 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика